Разложим первый определитель в (2.7.4.3) по последнему столбцу, получим
.
Следовательно, . Для верно аналогичное соотношение
,
поэтому
.
Продолжая раскрывать определители , и т.д., в итоге получим
.
Пример 2.7.4.3. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Разложим определитель по последнему столбцу, получим
,
а определитель вычислим аналогично определи-телю из примера 2.7.4.1. В итоге получим, что
.
У п р а ж н е н и я.
Вычислить определители
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) .
2.7.5. Вычисление определителей трехдиагональных матриц
Матрицей Якоби (или трехдиагональной матрицей) называется квадратная матрица с действительными элементами , равными нулю при . Обозначим через диагональные элементы , и , тогда матрица Якоби имеет вид
.
Интерес к матрицам такого рода вызван тем, что они появляются при решении различных матричных задач, например, при решении дифференциальных уравнений разностными методами. Мы рассмотрим случай, когда , , , и покажем способ вычисления определителей таких матриц.
Вычисление определителей матриц Якоби основан на методе рекуррентных соотношений. Итак, пусть дан определитель
.
Обозначим этот определитель через ( --- размер матрицы ). Раскрывая этот определитель по последней строке и последнему столбцу, получим
. (2.7.5.1)
Главная задача заключается в том, чтобы найти явное выражение для . Уравнение (2.7.5.1) является однородным разностным уравнением, поэтому решение уравнения (2.7.5.1) будем искать в виде . Подставляя в (2.7.5.1), получим или
. (2.7.5.2)
Возможны три случая.
1) Решения уравнения (2.7.5.2) и различны и вещественны. В этом случае общее решение (2.7.5.1) имеет вид , где и являются решением системы .
2) и вещественно. Тогда , а и являются решением системы уравнений .
3) и – комплексно сопряженные числа, т.е.
Тогда , а константы и находятся из системы уравнений .
Определение 15. Последовательность чисел , задаваемая рекуррентным соотношением , , , называется последовательностью чисел Фибоначчи.
В 19-м веке французский математик Ж. Бине получил явную формулу для чисел Фибоначчи
.
Пример 2.7.5.1 (числа Фибоначчи). Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Раскладывая определитель по последней строке, получим
.
Разлагая первый определитель суммы по последнему столбцу, получим
. (2.7.5.3)
Характеристическое уравнение (2.7.5.2) имеет вид , корни которого . Таким образом,
.
Константы и найдем из системы уравнений
или ,
откуда
,
и
.
Мы получили формулу Бине для чисел Фибоначчи .
Пример 2.7.5.2. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Для очевидным образом выполняется рекуррентное соотношение
. (2.7.5.4)
Характеристическое уравнение для (2.7.5.4) имеет вид , корни которого . Тогда
,
а константы и являются решением системы ,
откуда , , а значит, .
Пример 2.7.5.3. Вычислить определитель
.
Р е ш е н и е.
Для имеет место рекуррентное соотношение
(2.7.5.5)
Для для Тогда
0
.
Докажем методом математической индукции, что
Пусть для некоторого доказано, что
Тогда
У п р а ж н е н и я.
Вычислить определители трехдиагональных матриц
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;