§2. Определители: определение, свойства и вычисление

1. Понятие перестановки, подстановки, инверсии, транспозиции

Определение 1. Биективное (взаимнооднозначное) отображение конечного множества на себя называется перестановкой.

Перестановки множества обычно записывают в виде

. (2.1.1)

Эта запись означает, что .

Пример 2.1.1. Выписать все перестановки, соответствующие данной:

Р е ш е н и е.

Очевидно, что . Рассмотрим все возможные варианты (их будет 3!):

Таким образом, получим следующие перестановки:

, , ,

, , .

Замечание 1. Столбцы в перестановке (2.1.1) можно менять, строчки – нет.

Замечание 2. Всюду в дальнейшем будем считать, что первая строчка в перестановке (2.1.1) не меняется.

Замечание 3. Иногда перестановку (2.1.1) записывают в виде

. (2.1.2)

Теорема 1. Из элементов можно составить различных перестановок вида (2.1.2).

Определение 2. Такое расположение пары чисел в перестановке (2.1.2), когда большее стоит впереди меньшего, называется инверсией или беспорядком.

Определение 3. Если в перестановке (2.1.2) четное число инверсий, то перестановка называется четной, если нечетное – нечетной.

Определение 4. Преобразование, при котором 2 элемента в перестановке (2.1.2) меняются местами, а все остальные остаются на месте, называется транспозицией.

Теорема 2. Транспозиция меняет четность перестановки (2.1.2).

Теорема 3. Число четных перестановок (2.1.2) равно числу нечетных перестановок и равно .

Определение 5. Перестановка (2.1.1) называется четной, если сумма инверсий перестановок, стоящих в первой и второй строках, четная или четности первой и второй строк одинаковы.

Замечание 4. Так как первая строка в перестановке (2.1.1) не меняется, то четность перестановки определяется только второй строкой.

2. Определители второго и третьего порядков

Определение 6. Элементы, стоящие на главной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего левого угла), называются главными диагональными элементами матрицы.

Определение 7. Элементы, стоящие на побочной диагонали матрицы (то есть диагонали, выходящей из верхнего правого угла), называются побочными диагональными элементами матрицы.

Определение 8. Определителем второго порядка квадратной матрицы называется число, равное разности произведения главных диагональных элементов и произведения побочных диагональных элементов: .

Пример 2.2.1. Вычислить определитель .

Р е ш е н и е.

.

Ответ: –2.

Определение 9. Определителем третьего порядка квадратной матрицы называется число , которое можно вычислять следующими способами:

1. По правилу треугольника:

.

.

Пример 2.2.2. Вычислить определитель по правилу треугольника.

Р е ш е н и е.

Ответ: 0.

2) по правилу Саррюса: припишем к определителю справа два первых столбца и составим сумму произведений главных диагональных элементов и элементов, параллельных главной диагонали, из которой затем вычтем сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов, параллельных побочной диагонали: