2. Вспомогательный базис специального вида

Мы показали, что для того, чтобы матрица –го порядка была подобна диагональной матрице, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий ей оператор был оператором простой структуры, то есть чтобы он имел линейно независимых собственных векторов.

В противном случае, то есть когда число линейно независимых собственных векторов оператора меньше чем , в любом базисе число столбцов матрицы , все элементы которых, кроме диагональных, равны нулю, не больше, чем . Для того, чтобы число указанных столбцов было наибольшим, то есть равнялось , надо, чтобы все собственные векторы были включены в базис. Однако, как бы мы ни выбирали недостающие базисные векторы, соответствующие этим векторам столбцы матрицы будут содержать более одного отличного от нуля элемента. Естественно считать, что матрица, в которой столбцов содержат лишь один (диагональный) ненулевой элемент, а остальные столбцов содержат минимальное число элементов, отличных от нуля, является простейшей (после диагональной) матрицей, подобной матрице, не имеющей простой структуры.

Итак, пусть оператор не имеет простой структуры, то есть хотя бы для одного характеристического числа ранг матрицы отличен от , где – кратность корня характеристического многочлена матрицы . Поэтому и, значит, система уравнений

имеет только линейно независимых решений или, другими словами, оператор имеет линейно независимых собственных векторов с характеристическим числом .

Для построения базиса надо найти для каждого такие недостающие вектора, которые вместе со всеми линейно независимыми векторами оператора образуют линейно независимую систему.

Итак, пусть ранг оператора в пространстве равен . Это означает, что оператор имеет линейно независимых собственных векторов , соответствующих собственному числу .

Рассмотрим подпространство . Из теоремы о ранге cледу-

ет, что размерность его равна . Выберем в базис и пусть – прообразы этих векторов, то есть

.

Лемма. Векторы , образуют базис пространства .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Количество векторов , равно . Покажем, что эти векторы линейно независимы.

Предположим противное: из того, что выполнено условие

, (2.1)

следует, что хотя бы один из коэффициентов , отличен от нуля. Подействуем оператором на векторное равенство (2.1), получим

или .

Так как векторы образуют базис в , то . Значит,

и хотя бы одно отлично от нуля. Но это противоречит линейной независимости векторов .

Итак, базис пространства можно построить из собственных векторов оператора , соответствующих числу , и прообразов базисных векторов подпространства .

Пусть в подпространстве размерности имеется линейно независимых собственных векторов оператора , соответствующих числу . Дополним их векторами до базиса подпространства и обозначим через прообразы собственных векторов , через – прообразы векторов , то есть

; .

Теорема. Можно построить базис пространства из векторов .