1.5. Функции от матриц
N 1162.
Вычислить
,
если
.
Р е ш е н и е.
Найдем характеристический многочлен матрицы :
,
поэтому
жорданова форма матрицы
и, следовательно,
.
Заметим, что
(1.2)
Таким образом, нам нужно найти матрицу перехода от исходного базиса к жорданову. Для этого найдем жорданов базис.
При
получим
и, следовательно,
;
при
получим
,
поэтому
и
.
Осталось
найти матрицу
и воспользоваться формулой (1.2).
N
1163.
Вычислить
,
если
.
Найдем характеристический многочлен матрицы :
,
поэтому
,
.
Найдем геометрическую кратность собственного значения :
,
(1.3)
следовательно,
и
.
Докажем,
что
,
пользуясь методом математической
индукции.
Очевидно,
что при
.
Пусть это утверждение истинно для
,
то есть
.
Докажем его для
.
Действительно,
.
Таким образом,
,
поэтому
.
Найдем
жорданов базис. Из (1.3) следует, что
.
Найдем
из уравнения
,
откуда следует, что
,
и, следовательно,
.
Подставляя
,
и
в формулу (1.4), получим
.
Утверждение 1. Если матрица подобна диагональной
и
для функции
матрица
существует, то и
подобна диагональной матрице, причем
с той же матрицей .
N
1166. Вычислить
,
где
.
Р е ш е н и е.
Найдем характеристический многочлен матрицы :
следовательно,
,
,
поэтому
,
.
Найдем собственные векторы оператора .
Так как
,
то
координаты собственного вектора,
отвечающего собственному значению
,
удовлетворяют соотношению
,
поэтому
.
Аналогично
,
откуда
,
поэтому
.
Таким
образом,
и, следовательно,
.
Поэтому
Утверждение
2. Значение
многочлена
от клетки Жордана
порядка
с числом
на главной диагонали
определяется формулой
.
Утверждение 3. Если матрица клеточно-диагональная
и функция определена на спектре матрицы , то
.
Утверждение
4. Если
матрица
подобна клеточно-диагональной матрице
,
,
и функция определена на спектре матрицы , то
с той же матрицей .
N
1164.
Вычислить
,
где
.
Р е ш е н и е.
Найдем характеристический многочлен матрицы :
следовательно,
,
.
Найдем геометрическую кратность
собственного значения
:
.
Следовательно,
и
.
Из
утверждения 2 следует, что
.
Так как
,
то
и, следовательно,
.
Найдем жорданов базис матрицы оператора .
Так как
,
то
координаты собственного вектора,
отвечающего собственному значению
,
удовлетворяют соотношению
,
поэтому
.
Найдем
присоединенный вектор
из уравнения
,
откуда следует, что
и, следовательно,
,
.
Таким образом,
.