- •Методические указания по дисциплине «Системный анализ»
- •Часть 1. Теория множеств.
- •Глава 1. Понятие множества и отношения
- •1.3. Включение
- •X í y и y í z влечет X í z;
- •1.4. Операции над множествами
- •Примеры
- •Упражнения
- •1.5. Алгебра множеств
- •Примеры
- •1.6. Отношения
- •1.7. Отношения эквивалентности
- •Упражнения
- •1.8. Функции
- •1.9. Композиция и обращение функций
- •§ 1.10. Отношения порядка
Примеры
Рис. 6
1. Пусть А и B — два таких множества, что А - В = В - A=. Можно ли выразить отношение между А и В более простым образом?
В
А
В
F
G
L
А
Рис. 4
Рис. 5
П оскольку А – В = означает, что А В = , области, представляющие А и В на диаграмме Венна (рис. 4), не перекрываются. Очевидно, В = В, так что мы получаем АВ (рис. 5). И обратно, если АВ, то, очевидно, А – В = . Мы приходим к выводу, что А – В = равносильно АВ. Поменяв ролями А и В, мы получим, что В – А = равносильно ВА. Таким образом, заданные отношения между А и В равносильны тому, что АВ и ВА, т. е. А = В.
2. Рассмотрим вопрос, можно ли указать три таких подмножества А, В и С универсального множества U, для которых одновременно имели бы место следующие соотношения:
С , А В , А С = , (А В) – С = .
Из второго условия вытекает, что А и В пересекаются, из чего, кстати, следует, что оба они непусты. Согласно примеру 1 четвертое условие равносильно тому, что A B C, из чего видно, что первое условие является излишним. С помощью диаграммы Венна легко убедиться, что А и С пересекаются, т. е. что второе и четвертое условия противоречат третьему. Следовательно, множеств, одновременно удовлетворяющих всем приведенным условиям, не существует.
3. Пусть F, G и L—такие подмножества множества U, что
F G, G L F, L F = .
Можно ли на самом деле найти такие множества F, G и L, которые удовлетворяли бы этой совокупности условий? Диаграмма Венна (рис. 6) иллюстрирует только первое и третье условия. Но теперь из второго условия следует, что L и G не могут пересекаться, так что G L = . С другой стороны, если F G и G L = , то выполняются все заданные условия. Таким образом, данная система условий может быть сведена к более простой: F G и G L = .
Упражнения
Замечание. В упражнениях 1–8 надо обойтись без использования диаграмм Венна.
1. Доказать, что для любых множеств А и В верно А В A В.
2. Пусть универсальным множеством служит Z и пусть
A = {x Z для некоторого положительного целого числа у х = 2у,
В = {x Z для некоторого положительного целого числа у х = 2у – 1}.
С= x Zx10.
Опишите множества А, А В, С, А – С и С – (А В) словесно или с помощью определяющего свойства.
3. Рассмотрим следующие подмножества множества целых положительных чисел Z+:
A = {x Z+ для некоторого положительного целого числа у х = 2у,
В = {x Z+ для некоторого положительного целого числа у х = 2у + 1}.
С= x Z+ для некоторого положительного целого числа у х = 3у.
Опишите А С, B C и В – С .
Проверьте, что A (В С) = (А B) (A С).
4. Пусть А – произвольное множество. Что представляют собой следующие множества: А , А , А – , – А,?
5. Определите: , , , – , , – , , – .
6. Пусть А и В – подмножества множества U. Покажите, что для каждой приведенной ниже системы соотношений (а), (Ь) и (с) из справедливости одного соотношения системы вытекает справедливость всех других соотношений данной системы:
А В, А В, А В = В, А В = А;
А В = , А В, В А;
А В = U, А В, В А.
7. Докажите, что для произвольных множеств А, В и, С
(А В) С = А (В С) равносильно С A.
8. Докажите, что для произвольных множеств А, В и С
(А – В) – С = (А – С) – (В – С).
9. (а) Постройте диаграмму Венна, соответствующую симметрической разности А + В множеств А и В;
с помощью диаграммы Венна покажите коммутативность и ассоциативность операции симметрической разности;
покажите, что для любого множества А А + А = , А + = А.
10. На диаграмме Венна для подмножеств А, В и С универсального множества U прямоугольник, соответствующий U, разбивается, вообще говоря, на восемь не перекрывающихся областей. Укажите, какие комбинации множеств А, В и С соответствуют каждой из этих областей.
1 1. С помощью диаграмм Венна исследуйте вопрос о справедливости каждого из следующих рассуждений:
(a) Если А, В и С – такие подмножества множества U, что А В С, А С В, то А С = .
( b) Если А, В и С – такие подмножества множества U, что А В С и В А С, то В = .