Ядерные реакции

Ядерной реакцией называется процесс сильного взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или с другим ядром, приводящий к преобразованию ядра (или ядер). Взаимодействие реагирующих частиц возникает при их сближении до расстояний порядка 10^-15м благодаря действию ядерных сил.

Наиболее распространенным видом ядерной реакции является взаимодействие легкой частицы а с ядром X, в результате которого образуется легкая частица b и ядро Y:

Х + а  Y + b .

Уравнение таких реакций принято записывать сокращенно в виде

Х(а,b)Y . (44)

В качестве легких частиц а и b могут фигурировать нейтрон (n), протон (р), дейтрон (d), -частица () и -фотон ().

Ядерные реакции могут сопровождаться как выделением, так и поглощением энергии. Количество выделяющейся энергии Q называется энергией реакции.

Она определяется разностью масс исходных и конечных ядер (частиц):

(45)

где  m₁ – сумма масс ядер, вступающих в реакцию,

 m₂ – сумма масс ядер, получившихся в результате реакции.

Если сумма масс образующихся ядер превосходит сумму масс исходных ядер, реакция идет с поглощением энергии и энергия реакции будет отрицательной (Q<0).

Примеры решения задач

Дано:

T = 5800 K

t = 1 мин

Найти:

R_э, Ф_э, _max, W

1. Считая излучение Солнца близким к излучению абсолютно черного тела, определить энергетическую светимость Солнца, поток энергии, излучаемый Солнцем, длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости и энергию, излучаемую Солнцем за 1 минуту. Температура поверхности Солнца принять равной 5800К.

Р ешение

а) По закону Стефана – Больцмана определим энергетическую светимость Солнца:

R_э = T⁴,

где , R_э = 6,4210⁷ Вт/м².

б) Поток энергии, излучаемый Солнцем, найдем, умножив энергетическую светимость на площадь поверхности Солнца: Ф_э = R_эS = R_э4R_c², где R_c = 6,9510⁸ м – радиус Солнца.

Ф_э = 3,910²⁶ Вт.

в) Длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, найдем из закона смещения Вина:

_max = b/T, где b = ,310^-3 мК,

_max = 510^-7 м = 500 нм.

г) Энергия, излучаемая Солнцем за время t, будет равна W = Ф_эt.

Для t = 1 мин, W  2,3410²⁸ Дж.

Дано:

N = 600 Вт

r = 1м

d = 2 см

Найти: F

2. Поток энергии, излучаемый электрической лампой, N = 600 Вт. На расстоянии r = 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром d = 2 см. Принимая лампу за точечный источник, определить силу F светового давления на зеркальце.

Р ешение

Е сли принять лампу за точечный источник, то следует считать, что излучение лампы одинаково во всех направлениях. То есть энергия, излучаемая лампой за одну секунду, на расстоянии r от нее равномерно распределится по поверхности сферы радиусом r. Тогда плотность потока энергии излучения равна:

.

Для определения светового давления на зеркальце используем следующую формулу:

,

где с=310⁸ м/с – скорость света в вакууме,  – коэффициент отражения света (для зеркальных поверхностей, если нет специальных указаний, считать  = 1).

Силу светового давления определим, умножив давление света на площадь поверхности зеркальца (d²/4):

.

Дано:

 = 180^о

₁ = 0,255 МэВ

Найти: _e/₁

3. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона приходится на электрон отдачи, если фотон претерпел рассеяние на угол =180^о? Энергия фотона до рассеяния равна 0, 255 МэВ.

Решение

Обозначим ₁ и ₂ энергии фотона до и после рассеяния соответственно; ₁ и ₂ – длина волн соответствующих фотонов.

Для установления связи между энергиями фотона до и после рассеяния воспользуемся формулой Комптона

, так как cos180^о = – 1.

Энергия фотона  = h = hc/. Отсюда ₁ = hc/₁ и ₂ = hc/₂.

После подстановки в формулу Комптона получим



Разделим последнее равенство на hc и обозначим энергию покоя электрона mc² = E₀.

1/₂ – 1/₁ = 2/E₀.

Часть первоначальной энергии фотона ₁ приходится на электрон отдачи _е, а другая – на рассеянный фотон ₂:

₁ = _е + ₂ .

С учетом последнего равенства получим:

.

Умножим на ₁:

Решая последнее уравнение, получаем

Дано:

 = 94 нм

Найти: n

4. Атом водорода освещается излучением с длиной волны 94 нм. Определить, какие спектральные линии появятся в спектре атома водорода.

Решение

При возбуждении атома электрон в атоме переходит из основного состояния (m = 1) в состояние с главным квантовым числом n, которое можно определить по формуле:

1/ = R(1/m² – 1/n²) .

(округляем до меньшего целого).

Серия Брэккета

Серия Пашена

Серия Бальмера

Серия Лаймана

Таким образом, при обратном переходе с 5-го уровня электроны могут переходить на 1, 2, 3, 4-й уровни. Этим переходам будут соответствовать определенные спектральные линии:

Всего будет наблюдаться 10 линий:

4 линии в серии Лаймана;

3 – в серии Бальмера;

2 – в серии Пашена;

1 – в серии Брэккета.

5. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 0,5 кВ. Принимая, что неопределенность импульса равна 0,1 % от его численного значения, найти неопределенность координаты электрона. Являются ли в данных условиях электроны квантовыми или классическими частицами?

Дано: U = 0,5 кВ px= 0,001px

Найти: x

Решение

Согласно соотношению неопределенностей,

xp_x  /2, (1)

где x – неопределенность координаты электрона; p_x – неопределенность проекции его импульса; =1,05410^-34 Джс – постоянная Планка. Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U:

T = |e|U = 0,5 кэВ,

то есть электрон при данных условиях не является релятивистской частицей и импульс электрона:

.

Согласно условию задачи, неопределенность импульса p_x = 0,001p_x = 1,2410^-26 кгм/с, то есть p_x<<p_x, и электрон при данных условиях является классической частицей.

Искомая неопределенность координаты из выражения (1):

.

.

Дано:

l = 200 пм

n = 4

x₁ = 0, x₂ = l/4

Найти: E_min, W

6. Электрон в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 200 пм с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 4). Определить: 1) минимальную энергию электрона; 2) вероятность W обнаружения электрона в первой четверти «ямы».

Решение

Собственное значение энергии электрона, находящегося на n-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»:

,

где m=9,1110^-31 кг – масса электрона; – постоянная Планка.

Минимальную энергию электрон имеет при минимальном n, то есть при n = 1:

.

Вероятность обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂:

где – нормированная собственная волновая функция, соответствующая данному состоянию.

Возбужденному состоянию n = 4 отвечает собственная функция:

.

Тогда по условию задачи:

.

Заменив sin²(4x/l) = 1/2(1 – cos(8x/l)), запишем

График зависимости

7. Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона (период полураспада T_1/2 = 3,82 сут.) равна 1,5 г. Определить: 1) начальную активность изотопа ; 2) его активность через 5 суток.

Дано: m0 = 1,5 г T1/2 = 3,82 сут t = 5 сут

Найти: A0 , A

Решение

Начальная активность изотопа

A₀ = N₀,

где – постоянная радиоактивного распада; N₀ –число ядер изотопа в начальный момент времени.

,

где M – молярная масса радона (M=22210^-3 кг/моль); N_A – число Авогадро, равное 6,0210²³ моль^-1. Учитывая это выражение, найдем искомую начальную активность изотопа:

.

Активность изотопа A = N, где, согласно закону радиоактивного распада, N = N₀e^-t – число нераспавшихся ядер в момент времени t. Учитывая N₀ = A₀, найдем, что активность нуклида уменьшается со временем по закону:

A = A₀e^-t = .

8. В результате соударения дейтрона с ядром бериллия образовались новое ядро и нейтрон. Определить порядковый номер и массовое число образовавшегося ядра, записать ядерную реакцию и определить ее энергетический эффект.

Дано:

Найти: Z, A, Q

Решение

Из законов сохранения электрического заряда и массовых чисел следует, что Z = 5, A = 10, то есть образовавшееся в результате ядерной реакции ядро – изотоп бора . Поэтому ядерную

реакцию можно записать в виде

.

Энергетический эффект реакции:

, (1)

где в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых – массы ядер продуктов реакции.

с=310⁸ м/с.

Вычисляя, получим Q = 4,84 МэВ, энергетический эффект положительный; реакция экзотермическая.