- •Содержание
- •Латинский и греческий алфавиты Латинский алфавит
- •Греческий алфавит
- •Введение
- •Тема 1. Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории
- •Лабораторная работа №1: Способы задания множеств Вопросы к работе
- •Образцы решения заданий
- •Упражнения
- •Индивидуальное задание
- •Задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа №2: Подмножества. Равенство множеств Вопросы к работе
- •Образцы решения заданий
- •Упражнения
- •Индивидуальные задания
- •Задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа №3: Действия над множествами Вопросы к работе
- •Образцы решения заданий
- •Упражнения
- •Индивидуальное задание
- •Задания для самоконтроля
Тема 1. Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории
Понятия множества не определяется, а лишь поясняется на примерах. Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о множестве деревьев в парке, о множестве машин на улицах города, о множестве людей на планете, о множестве людей в Европе, о множестве климатических зон, о множестве точек на прямой, о множестве натуральных чисел и т.п.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.
Если в множестве имеется элемент , то пишут и говорят, что элемент входит в множество (принадлежит множеству , содержится в множестве ).
Если элемент в множество не входит, то пишут .
Множества бывают конечные, бесконечные и пустые.
Множество называется конечным, если в нем содержится конечное число элементов.
Например, множество рек в Мордовии конечно, множество пустынь на Земле конечно, множество деревьев в тайге конечно.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Например, множество гор в Мордовии, высота которых более 5000 м., пустое.
Множество, которое не является ни конечным, ни пустым, называется бесконечным.
Например, множество натуральных чисел бесконечно, множество точек на окружности бесконечно и т. д.
Задать множество – означает указать необходимое и достаточное условие попадания элемента в данное множество.
Другими словами, указать набор признаков, по которым для любого объекта мы можем сказать, является этот объект элементом данного множества или не является.
Если множество конечное и все его элементы известны, то говорят, что множество задано перечислением своих элементов.
При этом, если множество состоит из элементов , , , то пишут:
.
Если множество бесконечное или конечное, но мы не знаем его элементы, то задание множества осуществляется с помощью указания характеристического свойства элементов этого множества.
Характеристическим свойством элементов данного множества называется необходимое и достаточное условие попадания объекта в данное множество, выраженное словесно или с помощью математических символов.
Например: читаем: множество из таких элементов , которые являются вещественными числами, большими или равными 1. Характеристическое свойство элементов, входящих в множество состоит из трёх положений:
объект должен быть числом,
объект должен быть вещественным числом,
объект должен быть вещественным числом, большим или равным единицы.
Элемент , который фигурирует в записи этого множества, называют текущим элементом множества .
Пустые множества обозначают символом .
При задании множества учитываются следующие договорённости:
При записи множества порядок символов, обозначающих элемент данного множества не существенен. Т. е., если множество состоит из трёх элементов, обозначенных символами , , , то мы можем записать , а можем записать . Заметим, всего видов записи множества , состоящего из трёх элементов ; ; шесть штук.
Один и тот же символ нельзя употреблять для обозначения двух разных элементов. Т. е., если один из элементов множества обозначен символом а, то второй элемент символом, а обозначить нельзя. Нужно применить другой символ, например, .
Два разных символа нельзя употреблять для обозначения одного и того же элемента. Заметим, ограничения 2 и 3 позволяют сделать вывод, что если мы имеем запись , то это значит, что в множестве имеется в точности три различных элемента, а если мы имеем запись , то это не запись множества.
Элемент из множества можно взять столько раз, сколько это нужно для рассуждений.
Это означает, что вынимая из множества элемент а, мы не лишаемся его в множестве. Он там по-прежнему присутствует. И мы его можем вынимать столько раз, сколько нам требуется для рассуждений.
Пусть даны множества и . При этом мы не указываем, какие это множества – конечные, бесконечные или пустые. Если каждый элемент множества является элементом множества , т. е.
то говорят, что множество есть подмножество множества , и пишут . При этом говорят, что множество есть подмножество множества , и пишут .
По определению и . Другими словами, у непустого множества всегда есть, по крайней мере, два подмножества и . Эти подмножества называются несобственными подмножествами (тривиальными). Все остальные подмножества множества называются собственными подмножествами.
Если множество конечное и состоит из элементов, то говорят, что множество имеет длину и пишут .
Если , то подмножеств у него .
Например, если , т. е. , то оно имеет подмножеств: , , , , , , , . Других подмножеств у множества М нет.
Пусть даны множества и .
Если и , то множества и называются равными. Другими словами, множества и называются равными, если выполняются следующие условия:
.
При этом пишут .
С помощью множеств и можно образовать другие множества.
Объединение множеств и называется такое множество , которое состоит из всех элементов множества и всех элементов множества и только из этих элементов.
Объединение множеств и обозначается символом .
Итак, .
Например, если , , то .
Пересечением множеств и называется такое множество , которое состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству и множеству , и только из таких элементов.
Пересечение множеств и обозначают символом .
Итак, .
Например, если и , то .
Разностью множеств и называется такое множество , которое состоит из элементов множества , не входящих в множество , и только из этих элементов.
Разность множеств и обозначают символом .
Итак, .
Например, если , , то , а .
В частности, если , то называют дополнением множества до множества и обозначают символом .
Например, если , , то .
Чтобы наглядно изобразить множества и их взаимосвязи, часто рисуют круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый круг на рисунке изображает некоторое множество. При этом точки круга не ассоциируют с элементами множества. Т. е. круг может соответствовать как конечному множеству, так и бесконечному, так и пустому. Это изображение аналогично представлению множества в виде мешка, в котором находятся элементы множества. Мешок может содержать конечное число элементов, бесконечное число элементов, быть пустым.
Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества, называются кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств с помощью кругов называется диаграммами Эйлера-Венна.
Р ассмотрим некоторые диаграммы Эйлера-Венна:
рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4
Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи множеств и :
(рис. 1)
(рис. 2 – заштрихованная часть),
(рис. 3 – заштрихованная часть),
(рис. 4 – заштрихованная часть).
Нередко бывает так, что рассматривают только подмножества одного и того же множества . Такое множество называют универсальным множеством. Понятие универсального множества относительно. Для каждой задачи оно свое.
Например, если – множество студентов первого курса географического факультета, – множество студентов географического факультета, специальности “Геоэкология”, – множество спортсменов – студентов Мордовского госуниверситета, – множество старост академических групп факультетов, находящихся в корпусе № 4, то в качестве универсального множества можно взять множество студентов Мордовского государственного университета. Если же – множество рек Сибири, – множество озер Европы, – множество морей, то в качестве универсального множества можно взять гидросферу Земли. На диаграмме Эйлера-Венна универсальное множество изображают в виде прямоугольника. (рис. 5)
З аметим, дополнение множества до универсального множества обозначают символом . Нужно отметить общепринятые обозначения некоторых специальных множеств.
– множество натуральных чисел,
– множество целых чисел,
– множество рациональных чисел,
– множество вещественных чисел.
– множество вещественных чисел таких, что , ( ),
– множество вещественных чисел таких, что , иначе: ,
– множество вещественных чисел таких, что , иначе: ,
– множество вещественных чисел таких, что , иначе: .