Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть эксперимент состоит в случайном выборе точки из некоторой области. Полагаем выбор любой точки равновозможным. Заданную в пространстве область обозначим . В эксперименте, связанном со случайным выбором только одной точки из , множество  является пространством элементарных событий. Случайными событиями в этом случае можно считать разные подмножества из . Будем говорить, что случайное событие А наступило, если наугад выбранная точка x принадлежит подмножеству А, т.е.

Пусть  – некоторый отрезок, L – его длина. А – отрезок, принадлежащий  и длины l. Событие А состоит в попадании точки, брошенной в большой отрезок в А. Тогда

Аналогично, если множеством  элементарных исходов случайного эксперимента является фигура на плоскости площади S, а область А, ее подмножество, куда может попасть случайно брошенная на  точка, имеет площадь s, соответствующая вероятность события А – попадания в область А тогда

,

И, наконец, если речь идет об объемных фигурах, соответственно,  объема V и входящей в нее области А объема v

,

Замечание. Строго говоря, рассматриваемый здесь подход требует введения более общей характеристики (функции) множества – его меры (mes(A)), частными случаями которой являются длина, площадь и объем.

Пример 1. В квадрат вписан круг. Точка случайным образом бросается в квадрат. Какова вероятность того, что она попадет в круг? Согласно приведенной формуле соответствующая вероятность будет отношением площади круга к площади квадрата.

Пример 2. Два человека обедают в кафе в обеденный перерыв, который начинается у них в одно время и продолжается 1 час, от 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x — время прихода в кафе первого, а y — время прихода второго . Встретиться они могут только тогда, когда оба находятся в кафе.

Рис.1

Можно установить взаимно-однозначное соответствие между всеми парами чисел (x;y) (или множеством исходов) и множеством точек квадрата со стороной, равной 1, на координатной плоскости, где начало координат соответствует числу 12 по оси X и по оси Y, как изображено на рисунке 6. Здесь, например, точка А соответствует исходу, заключающемуся в том, что первый пришел в 12.30, а второй - в 13.00. В этом случае, очевидно, встреча не состоялась.

Если первый пришел не позже второго (y  x), то встреча произойдет при условии 0  y - x  1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).

Если второй пришел не позже первого (x    y), то встреча произойдет при условии 0  x - y  1/6..

Таким образом, в первом случае нас будет удовлетворять условие y  x + 1/6 , а во втором

y ≥ x - 1/6 . Область, удовлетворяющая этим двум условиям заштрихована на рис. 2

Рис. 2

Иными словами, в терминах геометрической вероятности, вероятность встречи есть отношение площади заштрихованной «полосы» между прямыми y = x + 1/6 и y = x - 1/6 внутри квадрата к площади самого квадрата.

Искомая вероятность p равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата.. Площадь квадрата равна единице, а площадь заштрихованной области можно определить как разность единицы и суммарной площади двух треугольников, изображенных на рисунке 7. Отсюда следует: