- •Введение
- •Лекция 1. Из истории геометрии
- •Лекция 2. Линии и поверхности второго порядка
- •1. Линии второго порядка
- •2. Поверхности второго порядка
- •Лекция 3. Пространственные кривые. Цилиндрические и конические винтовые линии
- •1. Цилиндрические винтовые линии
- •2. Конические винтовые линии
- •Лекция 4. Симметрия в геометрии и природе
- •Лекция 5. Основы топологии
- •Лекция 6. Многогранники
- •Лекция 6. Фракталы
- •Лекция 7. Неевклидовы геометрии
- •1 . Геометрия Лобачевского
- •2. Сферическая геометрия
- •Лекция 8. Проективная геометрия
- •Лекция 9. Геометрия в архитектуре
- •Заключение
- •Список используемой литературы
- •Приложение
- •Лабораторная работа 4. Многогранники. Клеточное разложение многогранников.
- •Лабораторная работа 5. Элементы симметрии правильных многогранников
- •Элементарное изложение основ наглядно-практической геометрии
- •163002, Архангельск, пр. Ломоносова, 6
- •165400, Г. Котлас, ул. Невского, 20
2. Поверхности второго порядка
В аналитической геометрии и в алгебраической геометрии поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: , который называется неявным.
О
Поскольку бочки
связаны с кругом, конусом и цилиндром
– фигурами правильными, тем самым они
поддаются геометрическим изменениям
И.Кеплер
Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, можно выразить через остальные: .
Соответственно степени уравнения поверхности разделяются на порядки: поверхность первого, второго, третьего и выше порядков. К поверхностям первого порядка относится плоскость. К поверхностям второго - эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, цилиндрические и конические поверхности.
Изучение поверхностей второго порядка – один из немаловажных аспектов развития математики. Реальная жизнь вынуждает решать задачи в многомерных пространствах. Рассмотрим алгебраические поверхности второго порядка.
Уравнение вида определяет эллипс, лежащий в плоскости оху.
Но если мы усложним задачу и будем рассматривать некий геометрический объект, для которого координаты х и у будут удовлетворять заданному условию, а третья координата может принимать любое значение, пробегая значения от -∞ до +∞, то в этом случае эллипс как бы будет то подниматься вверх, то опускаться вниз.
Если мы рассмотрим окружность, как частный случай эллипса, то в нашем случае получим бесконечно протяженный круговой цилиндр. Аналогично, в случае эллипса это будет поверхность, называемая эллиптическим цилиндром (рис.7) .
Рассуждая далее, по аналогии можно заключить, что раз есть поверхность, связанная с эллипсом, то могут быть и поверхности, связанные с другими линиями второго порядка.
Например, в случае гиперболы мы получаем гиперболический цилиндр, заданный уравнением (рис.8), в случае параболы – параболический цилиндр, заданный уравнением (рис.9).
.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Т ак как на плоскости уравнение определяет пару пересекающихся прямых, то в пространстве это будет цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся плоскостей, а поверхность, определяемая уравнением – цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей, и, наконец, цилиндр, представляющий собой пару слившихся плоскостей имеет уравнение x2=0. В дополнение заметим, что исключенная переменная означает, вдоль какой именно плоскости расположен цилиндр.
Р
Конус
Следующая
поверхность – это сфера. Ее уравнение
или,
иначе
.
Эта сфера имеет центр в точке О(0,0,0) и
радиус ее равен R.
То есть от начала координат до края
сферы по осям х, у и z
расстояния равны R.
Но если эти расстояния не будут равны
между собой, например, по оси х возьмем
а, по оси н –b,
и по оси z-
с, то получим еще одну поверхность
в
торого
порядка – эллипсоид. Его уравнение
.
Внешне эллипсоид очень похож н
Мяч для регби
Теперь введем в рассмотрение новые виды поверхностей – гиперболоиды и параболоиды.
В рассмотренном выше уравнении эллипсоида все знаки у дробей –положительные. Для начала предположим, что один из знаков отрицательный, например, уравнение имеет вид получим уравнение так называемого однополостного гиперболоида.
Е
Рис.10
Из уравнения однополостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат - центром симметрии однополостного гиперболоида.
Р
Рис.11
Определим новую поверхность, сечениями которой, скорей всего, должны быть параболы. Это параболоиды. Выделяют два вида параболоидов - эллиптический и гиперболический.
К аноническое уравнение эллиптического параболоида . Название определяется, видимо, внешней формой записи – в левой части стоит уравнение эллипса, а в правой – части записи уравнения параболы. Для него Oxz и Oyz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.
Э
Рис. 12
П
Рис. 13
Г
Водонапорная башня
По форме и внешнему виду гиперболический параболоид напоминает седло, отсюда и второе его название – «седловая поверхность» (рис.13).
П
Шпиль церкви