1.3 Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями и в полярных координатах.

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы точка , называемая полюсом, и исходящий из полюса луч , называемый полярной осью. Положение точки в полярной системе координат определяется двумя числами: полярным радиусом и углом между полярной осью и вектором , называемым полярным углом. Полярный угол измеряют в радианах и отсчитывают от полярной оси против хода часовой стрелки. Запись означает, что точка имеет полярные координаты и . Значение полярного угла, удовлетворяющее условию , называется главным. В некоторых случаях главным называют значение полярного угла , удовлетворяющее условию .

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат таким образом, чтобы её начало совпадало с полюсом, а положительная полуось совпадала с полярной осью полярной системы координат, тогда связь между декартовыми и полярными координатами точки даётся формулами: .

Уравнения , , называются параметрическими уравнениями кривой в системе координат , если для любого значения параметра точка и, наоборот, для любой точки существует значение параметра такое, что , . Исключением параметра из параметрических уравнений, уравнение может быть представлено в виде .

В задачах 3.58-3.60 построить эскизы графиков кривых, заданных в полярной системе координат уравнениями:

3.58 а) ; б) ; в) ; г) .

3.59 а) ; б) ; в) ; г) .

3.60 а) ; б) ; в) ; г) .

В задачах 3.61-3.63 уравнения кривых в декартовых координатах преобразовать к полярным координатам и построить эскизы графиков кривых:

3.61 а) ; б) ; в) .

3.62 а) ; б) ; в) ; г) .

3.63 а) ; б) .

В задачах 3.64-3.65 уравнения кривых в полярных координатах преобразовать к декартовым координатам и построить эскизы графиков кривых:

3.64. а) ; б) ; в) ; г) .

3.65 а) ; б) ; в) ; г) .

В задачах 3.66-3.67 требуется исключением параметра t найти уравнения заданных кривых в виде F(x,y)=0 и построить их.

3.66 а) ;

б)

3.67 а) ;

б)

В задачах 3.68-3.69 построить кривые:

3.68 (арка циклоиды).

3.69 (астроида).

§ 2. Аналитическая геометрия в пространстве.

2.1 Прямая и плоскость в пространстве.

Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;

4) - уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и (знак « », если отрезок отсекается на положительной части оси и « », если на отрицательной).

Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением , находится по формуле:

.

Угол , ( ) между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:

.

, если

, если .

3.70 Написать уравнение плоскости , проходящей через заданные точки и перпендикулярно заданной плоскости если: а)

б)

3.71 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , если:

а)

б)

3.72 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору , если:

а)

б) .

3.73 Написать уравнение плоскости , проходящей через три заданные точки если :

а)

б)

3.74 Написать уравнение плоскости, зная, что точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

3.75 Составить уравнение плоскости: а) проходящей через точку параллельно плоскости

б) проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям: и

3.76 Написать уравнение плоскости: а) параллельной плоскости

и проходящей через точку ; б) проходящей через ось и через точку ; в) параллельной оси Оx и проходящей через две точки и (5, 1, 7).

3.77 Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями. Построить плоскости.

а) б) в) .

3.78 Через точку провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.

3.79 Вычислить углы между следующими плоскостями:

а) и

б) и

в) и

3.80 Вычислить расстояние:

а) точки от плоскости ;

б) точки от плоскости ;

в) точки от плоскости

3.81 Вычислить расстояние между плоскостями:

и

3.82 Найти точку, симметричную с началом координат относительно плоскости

3.83 На оси Оz найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: и

3,84 На расстоянии трех единиц от плоскости провести параллельную ей плоскость.

3.85 Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и - нормальные векторы плоскостей и ;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);

3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

4) - уравнение прямой, проходящей через точку

параллельно данному вектору , (параметрическое уравнение);

Угол , ( ) между прямыми и , заданными каноническими уравнениями находится по формуле:

.

, если .

, если .

Угол , ( ) между прямой , заданной каноническим уравнением и плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле: .

, если .

, если .

Расстояние между параллельными прямыми и , заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:

.

Расстояние между скрещивающимися прямыми и , заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:

.

3.86 Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , если :

а) б)

3.87 Прямая L задана общим уравнением. Написать для этой прямой, проходящей через точку , её каноническое уравнение, если:

а) ; б) .

3.88.Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:

а) вектору б) прямой

в) оси г) оси

д) прямой ; е) прямой .

3.89 Задана прямая и точка .

Требуется: а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой в) вычислить расстояние

3.90 Заданы плоскость и прямая причем . Требуется:

а) вычислить и координаты точки пересечения прямой и плоскости; б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

3.91 Найти расстояние от точки до заданной прямой : а) ; б) .

3.92 При каком значении плоскость будет параллельна прямой .

3.93 Определить угол между прямой и плоскостью, проходящей через точки , , .

3.94 Найти расстояние между параллельными прямыми:

а) и ;

б) и .

3.95 Для заданных прямых и требуется доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т.е. являются скрещивающимися и вычислить расстояние между ними:

а) и ;

б) и .