Введение
Еще в древней Греции было известно, что круг имеет большую площадь, чем все другие фигуры с тем же самым периметром, а шар – наибольший объем среди всех тел с одной и той же поверхностью. Первый случай – это один из «очевидных» фактов математики, строгое доказательство которых возможно только на основе новейших методов. Несколько остроумных способов доказательства этой теоремы предложил немецкий геометр Якоб Штейнер. В работе рассмотрено одно из его доказательств. На основании этого доказательства можно считать, что кривая решающая так называемую изопериметрическую проблему, есть, изопериметрическое свойство может быть выражено в форме неравенства. Если L есть длина окружности, то охватываемая ею площадь равна L2/4; поэтому, какова бы ни была замкнутая кривая, непременно оправдывается следующее изопериметри-ческое неравенство, связывающее длину кривой C и охватываемую ею площадь S: S L2/4
Равенство здесь имеет место только в случае окружности.
Более интересные неравенства получаются в том случае, когда рассматриваются экстремальные свойства правильных n- угольников и эти неравенства связывают между собой площадь и периметр n- угольника.
I. Изопериметрическая задача
§ 1. Задача Дидоны.
Рассмотрим задачу, связанную с именем царевны Дидоны. Легенда относит это время к 825 г. до н.э. и нам, конечно, судить об их достоверности трудно. Но не исторические события интересуют нас здесь, а математическая задача, которую, видимо, пришлось решать Дидоне:
Задача 1. (задача Дидоны).
Как нужно расположить шнур фиксированной длины L, чтобы он отгораживал от прямолинейного берега участок земли максимальной площади?
Проследим сначала, какую максимальную площадь могла отгородить Дидона, если она огородила делянку прямоугольной формой.
Теорема 1. Среди всех прямоугольников с данным периметром l наибольшую площадь имеет квадрат.
Пусть x и y стороны прямоугольника. Тогда x+y=l/2, а площадь прямоугольника равен; S=x·y=1/4·[(x+y)2-(x-y)2]=1/4[l2/4-(x-y)2],
отсюда видно, что площадь прямоугольника будет наибольшей тогда, когда х=у, т.е. когда прямоугольник станет квадратом. Максимальное значение площади равно l2/16
Посмотрим теперь, как отгородить прямоугольную делянку с максимальной площадью, используя берег моря как одну из сторон прямоугольника.
у
х х
у
Пусть х и у стороны прямоугольника, причем 2x+y=l.
Площадь прямоугольника равно: x·y=1/8[(2x+y)2-(2x-y)2]=1/8[l2-(2x-y)2].
Таким образом, площадь прямоугольника будет максимальной, если у=2х, т.е. при х=l/4, y=l/2; Максимальное значение площади равно l2/8.
Итак, мы доказали следующее утверждение. Теорема 2. Среди всех прямоугольников с заданной суммой трёх сторон наибольшую площадь имеет тот, у которого одна сторона два раза больше чем другая.
Естественно теперь поставить вопрос:
Какую максимальную площадь треугольной формы можно оградить шнуром длины l, используя берег моря?
Чтобы получить ответ на этот вопрос, сначала докажем одно простое вспомогательное утверждение играющую важную роль в дальнейших рассуждениях.
Лемма 1. Среди всех треугольников с двумя данными сторонами a и b наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны взаимно перпендикулярны.
B
a
C
D b A
B
a
D C b A
Площадь треугольника ABC равна 1/2·b·BD, где BD – высота треугольника. Поскольку BD a, то площадь совпадает со стороной BC.
Е
сли
мы у берегов моря хотим оградить
треугольную делянку
CAB
с наибольшей площадью (AC+CB=l),
то из леммы 1 вытекает, что следует
рассмотреть только прямоугольный
треугольник. C
A M M B
C1
Пусть треугольник ABC прямоугольный. Обратим точку С симметрично относительно середины М отрезка AB; Найденную точку обозначим через C1. Тогда четырехугольник CAC1B есть прямоугольник с периметром 2l. По теореме 1 его площадь будет максимальной тогда, когда AC+BC=l/2. Откуда, площадь треугольника ACB будет наибольшей тогда, когда треугольник равнобедренный и прямоугольный. Максимальное значение площади равно l2/8. Доказанное утверждение можно сформулировать так;
Теорема 3. Среди всех прямоугольных треугольников с заданной суммой катетов наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.