- •I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •II Частные производные функции нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
- •Примеры для самостоятельного решения
- •IV Производная по направлению и градиент
- •Примеры для самостоятельного решения
- •V Экстремум функций нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •VI Условный экстремум
- •Задачи для самостоятельного решения
- •VII Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Литература
Примеры для самостоятельного решения
Найти частные производные первого порядка функций:
1. ; 2. ; 3. ; 4.
5. ; доказать, что ;
6. ; доказать, что ;
7. ; 8. ; 9. ;
10. ; 11. ; 12. ;
13. ; 14. ; 15. .
Найти частные производные второго порядка функции , если:
1. ; 5. ;
2. ; 6. ;
3. ; 7. ;
4. ; 8. .
Вычислить частные производные второго порядка функции в заданной точке:
1. ; 5. ;
2. ; 6. ;
3. ; 7. ;
4. ; 8. ;
9. , доказать, что ;
10. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
;
11. . Доказать, что ;
12. . Доказать, что ;
13. . Доказать, что .
III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
Определение 1. Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
, где при . Выражение есть главная часть полного приращения ; она называется полным дифференциалом функции в точке и обозначается или :
.
Под дифференциалами независимых переменных условимся понимать произвольные приращения этих переменных: . Таким образом, в каждой точке , где функция дифференцируема, дифференциал можно записать по формуле:
.
Аналогично, для функции трех переменных
.
Отметим, что полный дифференциал функции обладает инвариантной формой так же, как и дифференциал функции одной переменной. При малых приращениях независимых переменных можно приближенно полагать полное приращение функции равным полному дифференциалу функции.
Найти полные дифференциалы функций.
Пример 1. .
Для нахождения дифференциала функции вычислим частные производные:
.
Используя формулу для дифференциала функции двух переменных, получим:
.
Пример 2. .
Функция определена при условии . Вычислим частные производные функции. Фиксируя , получим сложную степенную функцию переменной , поэтому
.
Фиксируя , получим показательно-степенную функцию, поэтому для нахождения частной производной по сначала представим эту функцию, используя основное логарифмическое тождество, в виде показательной функции: .
.
Поэтому .
Пусть и являются независимыми переменными. Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от полного дифференциала: .
Для дифференциала второго порядка справедлива формула:
, где и - приращения независимых переменных и .
Последняя формула напоминает формулу для квадрата суммы двух слагаемых.
Можно также рассмотреть и убедиться в том, что
(напоминает формулу куба суммы двух слагаемых).
Эта аналогия в формулах может быть продолжена и дальше: формула для любого напоминает формулу возведения любого двучлена в n-ю степень по правилу бинома Ньютона.
Для функции трех переменных
.