7.5 Начала теории телетрафика

Кроме индивидуальных абонентского оборудования и абонентских линий в сети имеется и оборудование общего пользования (центры коммутации, межцентровые абонентские линии и т.п.). Если бы число обслуживающих приборов N в таком общем оборудовании (например, число одновременно поддерживаемых соединений в центре коммутации АТС) было равно числу абонентов M, обслуживаемых данной АТС, то каждый абонент всегда получал бы обслуживание по первому требованию, и обсуждать в данном разделе было бы нечего.

Очевидно, что такая идеальная система экономически неэффективна, поскольку у каждого абонента лишь иногда, случайным образом возникает необходимость провести сеанс связи. Поэтому всегда N< M, но с уменьшением N ухудшается качество обслуживания, поскольку часть заявок не будет обслужена либо будет обслужена после ожидания в очереди. Те методы, которые мы обсуждали в разд. 7.2-7.4, были разработаны для разрешения этого противоречия, но никаких количественных оценок, характеризующих качество обслуживания, мы пока не делали.

Именно это составляет предмет теории массового обслуживания и теории очередей, причем первые исследования в области теории телетрафика были проведены датским ученым А.К. Эрлангом методами теории вероятностей.

Ключевым является понятие нагрузки. Начнем с идеальной системы обслуживания (N=M). Пусть поведение абонента номер 1 характеризуется безразмерной стационарной случайной функцией его активности

(7.1)

Математическое ожидание этой функции, то есть среднее значение активности абонента

Эрл

(7.2)

численно равно вероятности того, что в произвольно выбранный момент времени абонент активен. Эта также безразмерная величина носит название нагрузки, создаваемой данным абонентом, и измеряется в эрлангах. Экспериментально ее можно оценить как

,

(7.3)

где Т_и – суммарное время передачи информации за длительный промежуток Т.

Поскольку активность абонента имеет импульсный характер, полезно ввести еще два параметра:

С₁ – среднее количество требований на обслуживание (вызовов или пакетов), поступающих от абонента за время Т (обычно это ЧНН),

τ – средняя продолжительность обслуживания одного вызова.

Тогда в соответствии с (7.3)

,

(7.4)

где – средняя интенсивность поступления вызовов от абонента.

Например, каждый квартирный телефон в ЧНН создает нагрузку А₁=0,05-0,1 Эрл, при этом средняя продолжительность разговора τ=3-4 мин и λ₁=1-2 вызова в час.

Далее полагаем, что функции активности всех абонентов обладают одинаковыми свойствами, тогда показатели суммарной активности абонентов равны

, ,

(7.5)

где А – общая поступающая нагрузка.

Считаем, что все абоненты действуют независимо один от другого. Вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени ровно q абонентов находятся на обслуживании, находим по биномиальной формуле

.

(7.6)

Н а рис. 7.6 для примера приведен график биномиального распределения суммарной активности 30 абонентов учрежденческой АТС для А₁=0,1, то есть общая поступающая нагрузка А=3 и, в принципе, могла бы быть обслужена тремя приборами. Здесь лишь в 0,0089% времени для обслуживания требуется больше 10 приборов, а вероятность того, что для обслуживания требуется больше 15 приборов P(q>15)=3,7∙10^–9 чрезвычайно мала.

Данные примера показывают, что количество приборов обслуживания N может быть во много раз меньше числа абонентов M. Таков принцип построения всех систем массового обслуживания.

Различают две группы методов анализа: для систем с потерями и для систем с ожиданием. В системе с потерями в случае, когда общая нагрузка превышает пропускную способность системы, равную N, избыточный трафик отбрасывается, в итоге обслуженная нагрузка А_о меньше чем поступающая А. Таков характер обслуживания в сетях с коммутацией каналов.

В системе с ожиданием избыточный трафик сохраняется, вызовы находятся в очереди, пока не освободятся устройства, которые могут их обслужить. Если, в идеале, длина очереди, играющей роль буфера, сглаживающего колебания поступающей нагрузки, не ограничена, и А<N, то А_о=А, то есть вся поступающая нагрузка когда-то будет обслужена. В реальных условиях длина очереди ограничена, и система с ожиданием частично приобретает черты системы с потерями. Таков характер обслуживания в сетях с коммутацией пакетов.

При численном анализе системы массового обслуживания в дополнение к показателям активности абонентов необходимо задать вероятностные характеристики потока требований, то есть потока заявок на установление соединения при КК либо потока пакетов при КП. Простейшая и довольно реалистическая модель, для которой получено большинство результатов, основана на следующих предположениях:

1) в любой достаточно малый интервал времени может поступить только одно требование;

2) вероятность p=λ∙Δt поступления требования в любой достаточно малый интервал времени Δt пропорциональна длине этого интервала;

3) вероятность поступления требования в любой фиксированный интервал времени не зависит от количества требований, поступающих в других интервалах (очевидно, что это предположение основано на условии N<< M);

4) длительность обслуживания одного вызова t_c без учета времени ожидания в очереди является непрерывной случайной величиной и подчиняется экспоненциальному закону распределения

.

(7.7)

Случайно выбранный интервал t разобьем на n малых интервалов Δt=t/n и воспользуемся перечисленными предположениями и формулой умножения вероятностей независимых событий, чтобы вычислить вероятность того, что в течение интервала t не поступит ни одного требования,

.

(7.8)

Пользуясь теми же предположениями, получена более общая формула, по которой вычисляют вероятность того, что в течение интервала t поступят ровно j требований

.

(7.9)

Это – закон Пуассона, поэтому такой поток требований называется пуассоновским. Формула (7.8) является частным случаем (7.9) при j=0.

В системе с потерями ситуация, когда общая активность абонентов превышает пропускную способность системы (число приборов обслуживания N), называется блокировкой. В приведенном примере (рис. 7.6) при N=10 вероятность блокировки равна 8,9∙10^–5.

В системе с явными потерями заблокированные вызовы (получившие отказ при первой попытке) теряются, то есть абоненты не делают повторных попыток установить соединение, а направляют это сообщение другими, например обходными путями.

Вероятность блокировки в такой системе определяется по известной формуле Эрланга

.

(7.10)

На рис. 7.7 дана зависимость вероятности блокировки от нагрузки, поступающей на канал обслуживания, в системе с явными потерями. В связи с потерей некоторых требований нагрузка, обслуженная каждым прибором, несколько меньше поступающей нагрузки и равна

.

(7.11)

Хорошо видно, что при увеличении размеров системы и соответствующем возрастании нагрузки А и числа приборов обслуживания N эффективность использования приборов обслуживания A_о/N возрастает и приближается к единице при том же качестве обслуживания (при той же вероятности блокировки). Например, при В=0,001 и N=4 увеличение общей нагрузки в сети в 5 раз потребует лишь двукратного увеличения числа приборов обслуживания (с 4 до 8) за счет того, что нагрузка, которую обрабатывает каждый прибор, увеличивается примерно в 2,5 раза.

Очевидно, что объединение малых обслуживающих систем в большую систему позволяет повысить ее эффективность, то есть при использовании меньшего числа приборов обеспечить обслуживание той же нагрузки с той же вероятностью блокировки.

Плата за высокую эффективность большой системы – это ее повышенная чувствительность к перегрузкам, поскольку она имеет меньший запас по пропускной способности. Например, при той же вероятности блокировки В=0,001 в малой системе при N=4 увеличение нагрузки на 10% приведет к несущественному возрастанию величины В, в то время как в более крупной системе при N=128 то же возрастание нагрузки увеличивает вероятность блокировки на порядок.

Более реалистический вариант системы с потерями – это система с повторными вызовами. Она анализируется при следующих предположениях.

1) Все заблокированные вызовы в очередь не ставятся, но абоненты делают многократные повторные попытки до тех пор, пока не получат обслуживания.

2) Каждая из повторных попыток проводится через случайный интервал времени после предыдущей, причем длительности всех интервалов взаимно независимы, а средняя длина каждого интервала превышает среднее время обслуживания абонента τ.

Для интенсивности поступления вызовов первой попытки мы уже использовали обозначение λ. Для вероятности блокировки в этой системе с повторными вызовами используем обозначение B_r.

Поскольку доля заблокированных вызовов равна B_r, то вскоре произойдет B_rλ повторных попыток, из них часть снова будет заблокирована и так далее. В итоге в состоянии статистического равновесия системы общая интенсивность поступления вызовов определяется как сумма убывающей геометрической прогрессии

,

(7.12)

где B_r – вероятность блокировки, рассчитанная для такой же системы с явными потерями, но при интенсивности нагрузки λ_r.

В этом уравнении две неизвестные величины B_r и λ_r, поэтому его можно решить методом последовательных приближений по методике расчета системы с явными потерями (7.10): сначала для фактического значения λ по (7.10) находим первое приближение для B_r и используем его для вычисления первого приближения для λ_r по формуле (7.12). Далее это значение λ_r подставляем в (7.10), находим второе приближение для B_r и так далее.

Обычно вероятность блокировки невелика (В<<1), поэтому хорошая точность получается уже после первого приближения

,

(7.13)

откуда видно, что повторные вызовы не сильно увеличивают нагрузку, так как . Итак, B_r определяем из (7.10) с использованием (7.13). Кстати, распространять это утверждение на очень большие системы следует с осторожностью, так как они весьма чувствительны даже к малым перегрузкам.

В системе с ожиданием избыточный трафик помещается в очередь и сохраняется до начала обслуживания. При анализе примем те же простые предположения: A<N; M>>N; длина очереди не ограничена; длительность обслуживания вызова подчиняется экспоненциальному закону распределения (7.7).

Вероятность того, что вызов сталкивается с перегрузкой системы и, следовательно, помещается в очередь, также была определена Эрлангом

,

(7.14)

где В – вероятность блокировки в системе с явными потерями (7.10).

Вероятность того, что вызов, оказавшийся в очереди, ждет начала обслуживания не более времени t, равна

,

(7.15)

где τ – средняя длительность обслуживания (не ожидания), определенная в (7.7). Отсюда видно, что среднее время ожидания в очереди равно

.

(7.16)

Обратите внимание, что в формулах (7.14) – (7.16) фигурирует не отношение A/N, а разность этих величин N–A. Чем больше эта разность, тем меньше вероятность того, что вызов не будет обслужен сразу и попадет в очередь, и тем меньше время ожидания в очереди, если он туда попал. Очевидно, что в крупной системе, при больших значениях A и N, легче обеспечить большое значение этой разности даже при очень высокой эффективности использования обслуживающих приборов ( ), нежели в малой системе.

Итак, приведенные соотношения количественно доказывают справедливость тех утверждений, которые были высказаны в конце разд. 7.2.