5.2 Когерентные системы

Рассмотрим сначала задачу демодуляции двоичного импульса, переданного в канале с постоянными параметрами при воздействии аддитивного белого гауссовского шума. В таких условиях, хотя бы в принципе, можно обеспечить когерентность СПИ и использовать любой из способов манипуляции гармонической несущей: АМ, ЧМ или ФМ (разд. 2.8).

Демодулятор к моменту окончания очередного импульса должен определить, которое из двух значений символа (0 или 1) было передано либо, что то же самое, который из двух сигналов (u₀(t) или u₁(t)) был передан. В терминах статистической радиотехники это классическая задача различения двух сигналов известной формы на фоне аддитивного белого шума.

Доказано, что оптимальный способ приема включает два этапа:

1) преобразование сигнала на входе приемника

,

(5.2)

состоящего из реализации полезного сигнала и реализации шума , в число v при помощи корреляционного приемника (2.27)

;

(5.3)

2) вынесение решения относительно предполагаемого значения переданного символа s путем сравнения полученного значения v с пороговым значением (порогом) v_п по правилу

(5.4)

Весовая функция должна совпадать по форме с разностным сигналом

w(t)=u0(t)-u1(t).

(5.5)

Обычно символы-импульсы следуют один за другим без пустых защитных интервалов, поэтому при использовании АМ и ФМ генератор опорного сигнала w(t) превращается в генератор гармонического колебания несущей частоты.

Поскольку в (2.29) величина образуется как сумма детерминированной и случайной гауссовской составляющих, она также является случайной величиной, имеющей нормальное распределение вероятности

.

(5.6)

Как видно из (2.29), значение математического ожидания

(5.7)

зависит от того, который из двух сигналов передавался. Если энергии обоих сигналов одинаковы (ЧМ, ФМ), то .

Значение среднеквадратического отклонения получим с учетом (1.24) и фильтрующего свойства дельта-функции

	(5.8)

и видим, что оно не зависит от того, который из сигналов передавался.

Отношение сигнал/шум по энергии

(5.9)

является отношением энергии разностного сигнала к спектральной плотности шума.

На рис. 5.1 изображены условные плотности вероятности величины v для случая, когда используется ФМ. Пороговое значение v_п принято равным нулю.

Из рисунка видно, что возможна ситуация, когда передается символ 0, но величина v оказывается ниже порога, поэтому демодулятор в соответствии с инструкцией (5.4) выносит решение о том, что передан символ 1. Такой исход может быть назван ошибкой первого рода, и вероятность такой ошибки равна

.

(5.10)

Аналогично, ошибка второго рода возникает тогда, когда демодулятор выдает символ 0, но фактически передавался символ 1. Вероятность появления такой ошибки равна

.

(5.11)

П ри увеличении порога возрастает величина α, но зато уменьшается β, при сдвиге порога влево эта зависимость меняется на обратную. Обычно в СПИ символы 0 и 1 передаются с одинаковой вероятностью, а неприятности, обусловленные появлением ошибок обоих видов, одинаковы. Тогда объективной характеристикой качества приема становится полная вероятность ошибки (битовая вероятность ошибки или, в англоязычной литературе, Bit Error Rate (BER))

.

(5.12)

Легко убедиться, что для сигналов ФМ эта величина минимальна, если v_п=0, как показано на рис. 5.1, и равна

,

(5.13)

где – интеграл вероятности (таблица значений интеграла вероятности приведена в Приложении 3).

Обратите внимание, что BER зависит лишь от отношения (5.9) энергии разностного сигнала к спектральной плотности шума и, разумеется, уменьшается при увеличении этого отношения).

Посмотрим, как величина q² зависит от отношения сигнал/шум в обычном смысле, то есть от отношения средней энергии импульса на входе демодулятора к спектральной плотности шума, полагая символы 0 и 1 равновероятными:

(5.14)

Для сигнала с ФМ имеем Е₀=Е₁, поэтому из (5.9) получим (см. также рис. 2.15а) .

Для сигнала с АМ это соотношение является наилучшим, когда один из двух сигналов, скажем, u₁(t)=0, и имеем .

Для сигнала с ЧМ это соотношение зависит от модуля разности несущих частот и равно

.

(5.15)

Если , где n – целое положительное число, сигналы

u ₀(t) и u₁(t) становятся ортогональными, и , то есть помехоустойчивость АМ и ЧМ сигналов одинакова. Именно для этого случая для когерентной СПИ на рис. 5.2 показана зависимость вероятности ошибки, вычисленной по формуле (5.13), от отношения сигнал/шум q_c.

Итак, отношение сигнал/шум максимально и, следовательно, BER при демодуляции минимальна для сигналов с ФМ. Более того, доказано, что ФМ – это идеал, то есть при передаче двоичных импульсов при заданной величине q_c не существует другого способа модуляции, который при приеме на фоне белого шума обеспечил бы меньшее значение BER, чем ФМ.

Рассмотрим методы демодуляции сигналов при использовании многопозиционных методов модуляции, то есть в случае, когда передаваемый радиоимпульс прямоугольной формы может принять (как правило, с одинаковой вероятностью) одно из М=2^k значений: u₀(t), u₁(t),…, u_M-1(t), отличающихся друг от друга начальными фазами и даже амплитудами (при использовании КАМ-М). Напомним, что М-ичный номер сигнала m при передаче обычно заменяет k-разрядную комбинацию двоичных символов (см., например, рис. 2.15), поэтому полная вероятность ошибки при демодуляции принимаемого импульса Р не совпадает с BER.

Здесь демодуляция также осуществляется в два этапа, но на первом этапе при помощи двух параллельно включенных корреляционных приемников вычисляются две величины v₁ и v₂, соответствующие двум квадратурным составляющим принимаемого сигнала с шумом (1.34), который одновременно подается на входы обоих приемников. Очевидно, что для этого в качестве опорного колебания w(t) на вход первого приемника подаются колебания несущей с “нулевой” начальной фазой (ось С на рис. 2.16, хотя для сигнала с двукратной ФМ значительно удобнее задать начальную фазу, равную π/4). Опорное колебание на входе второго приемника отличается по фазе на π/2.

Для выбора способа обработки на втором этапе (вынесение решения) учтем, что областью возможных значений величин v₁ и v₂ является вся плоскость CS на рис. 2.15 и 2.16. Правило вынесения решения очевидно: в качестве переданного считают то значение полезного сигнала из М возможных, которое оказывается наиболее близким к точке с координатами (v₁,v₂), отображающей принятую реализацию сигнала с шумом. Сигнал, выбранный таким способом, называется максимально правдоподобным. Чтобы при приеме серии импульсов каждый раз не определять М расстояний, следует заранее плоскость CS разбить на М частей, соответствующих каждому из сигналов (пример такого разбиения штриховыми линиями для сигнала с КАМ-16 дан на рис. 5.3).

С уществуют ошибки М(М–1) видов, причем, в отличие от двоичного случая, ошибки разных видов неравновероятны. Поскольку нормальная двумерная совместная плотность вероятности шумовых составляющих координат точки (v₁,v₂) имеет круговую симметрию, из всех возможных видов ошибки наиболее вероятно попадание точки, соответствующей принятому сигналу, в соседнюю область (по горизонтали либо по вертикали). При этом чаще всего возникают ошибки при демодуляции сигналов, которым соответствуют внутренние точки на диаграмме типа изображенной на рис. 5.3.

Тогда полная вероятность ошибки при демодуляции принимаемого импульса приближенно (с некоторым превышением) равна

,

(5.16)

где Δq² – отношение энергии разности двух ближайших сигналов к спектральной плотности шума.

Для двукратной и трехкратной ФМ (рис. 2.15) при Δq >4…6 формула для полной вероятности ошибки имеет следующий вид:

.

(5.17)

Формулы (5.16) и (5.17) тем точнее, чем больше М и Δq.

Очевидно, что увеличе­ние битовой скорости пере­дачи, которое достигается при использовании многопозици­онных методов модуляции, потребует существенного увеличения средней энергии полезного сигнала на входе приемника, пропорциональной величине q_c². В таблице 5.1 приведены значения отноше­ния для разных ви­дов модуляции.

В заключение отметим, что при использовании многопозиционных методов модуляции BER зависит от способа кодировки возможных значений М-ичного символа при помощи k-р

Таблица 5.1 – Значения отношения
Вид модуляции
ФМ КАМ-4 двукратная ФМ трехкратная ФМ КАМ-16 КАМ-64 КАМ-256 КАМ-1024	0,25 0,5 0,5 1,71 2,5 10,5 42,5 170,5

азрядных двоичных комбинаций. Наилучшим является такой код, когда соседним значениям импульса соответствуют комбинации, отличающиеся лишь в одном символе. Коды, показанные на рис. 2.15б и 2.15в, не удовлетворяют этому требованию. В частности, при использовании трехкратной ФМ для преобразования восьмеричной цифры в двоичную комбинацию существует код Грея (0↔000; 1↔001; 2↔011; 3↔010; 4↔110; 5↔111; 6↔101; 7↔100). Здесь при возникновении наиболее вероятных ошибок из трех битов комбинации ошибочным оказывается лишь один, в итоге для BER имеем p=P/3.