- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Алгебраические свойства векторного произведения
1. EMBED Equation.3
2. EMBED Equation.3
3. EMBED Equation.3
4. EMBED Equation.3 для любого вектора EMBED Equation.3 , так как вектор EMBED Equation.3 коллинеарен сам себе.
Если два вектора EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены своими декартовыми прямоугольными координатами EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , то векторное произведение этих векторов имеет вид
EMBED Equation.3 (8.2)
или же EMBED Equation.3 (8.3)
Пример 8.1. Упростить выражение
EMBED Equation.3 .
Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного произведения получаем
EMBED Equation.3 .
Пример 8.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).
Решение. Находим сначала координаты векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Координаты векторного произведения EMBED Equation.3 определяем по формуле:
EMBED Equation.3 .
Получаем EMBED Equation.3 .
Находим площадь треугольника
EMBED Equation.3
Вопросы для самопроверки
1.Что называется векторным произведением?
2. Каков геометрический смысл векторного произведения?
3. Как векторное произведение выражается через координаты сомножителей?
4. При решении каких задач используется векторное произведение?
Задачи для самостоятельного решения
1. Векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 взаимно перпендикулярны. Зная, что EMBED Equation.DSMT4 = 3, EMBED Equation.DSMT4 = 4, вычислить: 1) EMBED Equation.DSMT4 ;
2) EMBED Equation.DSMT4 .
2. Даны векторы EMBED Equation.DSMT4 = {3; -1; -2} и EMBED Equation.DSMT4 = {1; 2; -1}. Найти координаты векторных произведений: 1) EMBED Equation.DSMT4 , 2) EMBED Equation.DSMT4 , 3) EMBED Equation.DSMT4 .
3. Найти векторное произведение векторов EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3
4. .Упростить выражение: EMBED Equation.3
5. Векторы EMBED Equation.3 связаны соотношениями EMBED Equation.3 . Доказать, что векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 коллинеарны.
6. Даны точки A (1; 2; 0), B (3; 0; -3), и C (5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС.
7. Даны вершины треугольника A (1; -1; 2), B (5; -6; 2), и C (1; 3; -1).. Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
8. Вычислить синус угла, образованного векторами
EMBED Equation.DSMT4 = {2; 2; 1} и EMBED Equation.DSMT4 = {2; 3; 6}.
9. Вектор EMBED Equation.DSMT4 перпендикулярный к векторам
EMBED Equation.DSMT4 = {4; -2; -3} и EMBED Equation.DSMT4 = {0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что EMBED Equation.DSMT4 = 26, найти его координаты.
10. Вектор EMBED Equation.DSMT4 перпендикулярный к оси Oz и к вектору
EMBED Equation.DSMT4 = {8; -15; 3}, образует с осью Ох острый угол. Зная, что
EMBED Equation.DSMT4 = 51, найти его координаты.
11. Найти вектор EMBED Equation.DSMT4 , зная, что он перпендикулярен к векторам EMBED Equation.DSMT4 = {2; -3; 1} } и EMBED Equation.DSMT4 = {1; -2; 3} и удовлетворяет условию EMBED Equation.DSMT4 ( EMBED Equation.DSMT4 )= 10.
Ответы: 1. 1) 24, 2) 60. 2. 1) { 5; 1;7 }, 2) { 10; 2; 14}, 3)
{ 20; 4; 28}. 3. EMBED Equation.3 4. EMBED Equation.3 .
6. 14. 7. 5. 8. sin φ = EMBED Equation.DSMT4 9. { -6; -24; 8}. 10. { 45; 24; 0}. 11. { 7; 5; 1}.
Занятие 9. Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три вектора EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Если вектор EMBED Equation.3 векторно умножается на EMBED Equation.3 , а затем получившийся вектор EMBED Equation.3 скалярно умножается на вектор EMBED Equation.3 , то получается число, называемое смешанным произведением векторов EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Теорема. Смешанное произведение EMBED Equation.3 равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , взятому со знаком (+), если тройка EMBED Equation.3 правая, и со знаком (-) , если тройка EMBED Equation.3 левая. Если же векторы EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 компланарны, то EMBED Equation.3 .
Следствие 1. Справедливо равенство
EMBED Equation.3 .
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. (Такие три вектора заведомо компланарны).
Теорема. Если три вектора EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определены своими декартовыми прямоугольными координатами EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то смешанное произведение EMBED Equation.3 равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, то есть
EMBED Equation.3 (9.1)
Пример 9.1. Доказать, что векторы EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 компланарны.
Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле:
EMBED Equation.3 .
. Это и означает, что векторы EMBED Equation.3 компланарны.
Пример 9.2. Даны вершины тетраэдра: EMBED Equation.3 (0, -2, 5), EMBED Equation.3 (6, 6, 0), EMBED Equation.3 (3, -3, 6), EMBED Equation.3 (2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины EMBED Equation.3 .
Решение. Найдем сначала объем тетраэдра EMBED Equation.3 . По формуле получаем:
EMBED Equation.3
Так как определитель равен отрицательному числу, то в данном случае перед формулой нужно взять знак минус. Следовательно, EMBED Equation.3 .
Искомую величину h определим из формулы EMBED Equation.3 , где S – площадь основания. Определим площадь S: EMBED Equation.3
где EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Поскольку EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
то EMBED Equation.3
Подставляя в формулу EMBED Equation.3 значения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , получим h=3.
Пример 9.3. Образуют ли векторы EMBED Equation.3 базис в пространстве ? Разложить вектор EMBED Equation.3 по базису векторов EMBED Equation.3 .
Решение. Если векторы образуют базис в пространстве, то они не лежат в одной плоскости, т.е. являются некомпланарными. Найдем смешанное произведение векторов EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 ,
следовательно векторы некомпланарны и образуют базис в пространстве. Если векторы образуют базис в пространстве, то любой вектор EMBED Equation.3 можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов , а именно EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 координаты вектора EMBED Equation.3 в базисе векторов EMBED Equation.3 . Найдем эти координаты, составив и решив систему уравнений
EMBED Equation.3 .
Решая ее методом Гаусса, имеем
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Отсюда EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 .
Таким образом, EMBED Equation.3 .