5.3. Параметры Кейли-Клейна

Параметры Кейли-Клейна представляют собой комплексно-сопряженные комбинации параметров Родрига-Гамильтона, составляющих кватерниона, и имеют вид

(55)

Матрица перехода между соседними звеньями (66) составлена из элементов (65)

.

(56)

Таким образом, в результате последовательного перемещения от одного звена к другому будут получены матрицы перехода вида (56), которые будучи перемноженными между собой в том же порядке дадут результирующую матрицу, связывающую основание манипулятора с последним звеном.

При совмещении систем координат выше были получены кватернионы, соответствующие элементарным плоским поворотам. Их и будем использовать для составления матриц перехода. Переход  можно описать двумя кватернионами: ; 2) .

В результате чего можно составить две матрицы перехода

	(57)

Переход  описан через кватернион вращения , откуда

.

(58)

Так как при переходе от системы координат к кватернион аналогичен кватерниону , то получим

(59)

В результате перемножения полученных матриц перехода (56) - (59), результирующая матрица будет иметь вид:

и в окончательном виде, получим:	(60)

6. Приложение 2. Пример решение прямой и обратной задачи для манипулятора типа puma

Для рассматриваемого манипулятора были получены уравнения решения прямой и обратной задач кинематики, приведенные ниже. Переход от базовой системы координат к системе координат, связанной с захватом, осуществлялся в соответствии с представлением Денавита – Хартенберга. Повороты и перемещения, описывающие движение каждого звена указаны в таблице 1, в соответствии с ними построена матрица преобразования T (61).

Таблица 1

Параметры систем координат звеньев манипулятора
i
1		90		0	0
2		0			0
3		0			0
Рис. 9. Общий вид типового трехзвенного манипулятора			Рис. 10. Кинематическая схема трехзвенного манипулятора

(61)

Прямые и обратные уравнения кинематики приведены в уравнениях (62) и (63) соответственно.

; ; ;	(62)
	(63)

Знак в выражении для обозначает общую конфигурацию руки робота. Положительное значение соответствует решению, при котором локоть направлен книзу, отрицательное – когда локоть направлен кверху.

В

Рис. 11. Неопределенность, возникающая при решении обратной задачи кинематики

ажно отметить, что в некоторых положениях манипулятора рассматриваемой конструкции обратная задача кинематики неопределима, например конфигурация с локтем, направленным вниз и с локтем, направленным вверх (рис. 11). При решении задачи с помощью аналитических уравнений (63), неопределимость устраняется путем наложения ограничений, т.е. исключением данных положений из диапазона углов поворота, либо использованием дополнительных параметров, учитывающих ориентацию. При использовании нейронных сетей необходимость учитывать такого рода ограничения отпадет, поскольку обучение проводится на множестве точек полученных с помощью прямой задачи кинематики, которая дает однозначное решение.