Потенциальная яма

Если потенциальная энергия имеет минимум, меньший значений при , которые считаем одинаковыми и равными нулю, то это потенциальная яма. При движение частицы не ограничено, ее энергия имеет непрерывный спектр, яма лишь рассеивает частицу. При частица захвачена ямой, состояние связанное.

Свойства связанных состояний. При частица находится в ограниченных пределах, спектр дискретный , где – номер состояния. Состояние с наименьшей энергией E₀ называется основным, остальные – возбужденные. Функции состояний дискретного спектра можно выбрать вещественными.

У края пологой ямы в области, где , из (3.1) для состояния n получаем

, .

Физическое решение убывает при и имеет вид

, . (3.17)

Частица обнаруживается за пределами ямы в области порядка благодаря туннельному эффекту.

Для симметричной ямы

уравнение (3.1) не изменяется при замене . Множество общих решений распадается на линейно независимые и взаимно ортогональные подмножества четных и нечетных вещественных решений

, ,

, .

Число нулей волновой функции является номером состояния и называется главным квантовым числом Оно определяет длину волны , импульс и полную энергию частицы. С ростом n уменьшается , увеличиваются и .

Между двумя последовательными нулями функции состояния существует нуль соседнего по энергии состояния.

Спектр состояний одномерной ямы невырожденный – состояния с разными волновыми функциями имеют разные энергии.

Множество связанных состояний образует ортонормированный базис

. (3.20)

Борновский параметр. В яме с характерной шириной а из соотношения неопределенностей (2.37) получаем характерный импульс частицы и кинетическую энергию . Мера воздействия ямы на частицу определяется параметром

, (3.22)

где – характерной глубина ямы. При яма слабая, при яма сильная.

Примеры

1. Найти состояния в прямоугольной симметричной потенциальной яме шириной 2а с абсолютно непроницаемыми стенками.

При имеем и (3.2) дает

, .

Яма симметричная, выбираем вещественные решения

, .

Граничное условие (3.14) при требует

, .

Четные состояния. Из находим

, ,

тогда

, .

Ортонормированность с учетом

,

дает ,

. (П.3.1)

Основное состояние

, .

Нечетные состояния. Из находим

, ,

, .

Ортонормированность дает ,

. (П.3.2)

Первое возбужденное состояние

, .

Объединяя результаты для четных и нечетных состояний, получаем

, , (П.3.3)

где n – число узлов волновой функции. Энергии четных и нечетных состояний чередуются. Функции состояний образуют ортонормированный базис

, (П.3.4)

2. В гетероструктуре слой толщиной имеет узкую запрещенную зону по сравнению с соседними слоями. В зоне проводимости образуется прямоугольная потенциальная яма глубиной . На дне зоны проводимости эффективная масса электрона .

Найти связанные состояния в прямоугольной яме шириной 2а и глубиной W.

При из (3.2) получаем

, . (П.3.6)

Решения внутри ямы

, . (П.3.7)

При для связанных состояний из (3.1) получаем

, , (П.3.8)

. (П.3.9)

Из (П.3.6) и (П.3.8) находим

, . (П.3.10)

Сшиваем решения при . Для четного решения из (3.11) и (3.12) получаем

, ,

откуда

. (П.3.11)

Для нечетного решения находим

, ,

тогда

. (П.3.12)

Системы уравнений (П.3.10), (П.3.11) и (П.3.10), (П.3.12) решаем графически в безразмерных координатах и находим k,  и E. Уравнение (П.3.10) дает окружность с радиусом B, показанную на рисунке. Функции и периодические, каждой ветви соответствует свое

решение. Уравнение (П.3.11) дает для пунктирные кривые, уравнение (П.3.12) при дает сплошную кривую. Пересечения кривых с окружностью являются искомыми решениями , тогда . Из рисунка следует – в одномерной яме сколь угодно малой глубины существует связанное четное состояние . Учитывая , получаем , т. е. Е₀ меньше энергии (П.3.3) основного состояния в бесконечно глубокой яме. С увеличением B растет радиус окружности, возрастает энергия связанных состояний и дискретно меняется число уровней.

3. Найти связанные состояния в яме , где – борновский параметр, d – параметр с размерностью длины.

Для связанного состояния из (3.1) находим

, .

При получаем . Убывающие на бесконечности решения

,

сшиваем при . Используя (3.11) и (3.13) , находим

, , . (П.3.15)

Существует одно связанное состояние. Условие нормировки дает , тогда

. (П.3.16)

Функция уменьшается в е раз при .

4. Найти спектр энергии в треугольной яме

На уровне n кинетическая энергия . Из находим границу классического движения . При в уравнении (3.1)

переходим к безразмерному аргументу , , и получаем уравнение Эйри

и решение в виде интеграла Эйри

. (П.3.27)

При краевое условие (3.14) дает

.

Используя корни : , , , , , находим

. (П.3.28)