Зависимость нормальной кривой от значений параметров закона и .

Рассмотрим изменения, которые происходят в расположении и виде нормальной кривой при изменении параметров и .

Параметр характеризует положение нормальной кривой.

При изменении параметра изменяется центр симметрии распределе-ния, поэтому нормальная кривая, не меняя своей формы, смещается влево при уменьшении параметра и смещается вправо при увеличении параметра .

Параметр определяет форму нормальной кривой.

При изменении параметра меняется форма нормальной кривой. При увеличении ордината максимума уменьшается, точки перегиба удаляются от центра рассеивания, а так как площадь под кривой должна оставаться

равной единице, то нормальная кривая растягивается вдоль оси , принимает более пологий вид. При уменьшении ординат максимума увеличивается, точки перегиба приближаются к центру рассеивания. Нормальная кривая, вытягиваясь вдоль оси , приобретает более сжатую форму.

Вывод. Параметр характеризует положение нормальной кривой на координатной плоскости, а параметр определяет форму нормальной кривой.

Определение. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным и обозначается , соответствующая ему нормальная кривая называется стандартной или нормированной нормальной кривой.

Функция Лапласа и ее свойства

Определение. Функцией Лапласа или интегралом вероятности называется функция вида

Графически функция Лапласа представляет площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке . Для значения функции Лапласа составлены специальные таблицы, которые, обычно, приведены во всех учебниках по теории вероятностей.

Свойства функции Лапласа

1. .

2. Функция является нечетной, т.е. .

3. Функция монотонно возрастающая, причем при

Свойства нормального закона распределения

Теорема. Интегральная функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, имеет вид

.

Доказательство. Так как интегральная функция распределения по заданной дифференциальной функции определяется по формуле

,

то для нормального закона распределения получаем

.

Сделав в последнем интеграле замену переменной , получим

.

С учетом того, что первый интеграл

,

а второй интеграл выражается через функцию Лапласа следующим образом

,

окончательно получаем

.

С геометрической точки зрения, функция представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале .

Теорема. Вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону, в промежуток определяется по формуле

,

где

, .

Доказательство. Из свойства 5 интегральной функции распределения следует, что вероятность попадания случайной величины на заданный промежуток равна приращению интегральной функции на этом промежутке, т.о.

.

Следовательно, для нормального закона

.

Теорема. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания по модулю на величину, не превышающую , определяется по формуле

,

где .

Доказательство. Так как неравенство равносильно двойному неравенству вида

,

то с учетом свойства 2 получим

=

.

Определение. Событие называется практически достоверным, если оно наступает с вероятностью не меньшей 0,9973.

Теорема (правило трех сигма). Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания по модулю на величину, не превышающую , определяется по формуле

Доказательство. Из свойства 2 следует

.

Пример. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина с параметрами и , найти

1. выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины ;

2. доли костюмов четвертого роста (176-182 см.) и третьего роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

17