3.4. Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятности. Свойства дифференциальной функции распределения

Рассмотрим непрерывную случайную величину. Интегральная функция распределения вероятностей такой случайной величины непрерывно дифференцируема.

Определение. Производная от интегральной функции распределения непрерывной случайной величины называется дифференциальной функцией распределения этой случайной величины или дифференциальным законом распределения

.

Дифференциальная функция распределения иначе называется плотностью распределения вероятности. Поясним это название. По определению вероятности

.

По аналогии, с массой стержня отношение вероятности того, что случайная величина примет значение на интервале , к длине этого интервала – это средняя плотность вероятности случайной величины на этом интервале.

Предел при средней плотности вероятности случайной величины – это плотность распределения вероятностей.

Дифференциальную функцию распределения поэтому обозначают иногда через .

Свойства дифференциальной функции распределения

Свойство 1. Дифференциальная функция распределения определена при всех действительных значениях аргумента, т.е.

.

Доказательство. Следует из определения непрерывной случайной величины.

Свойство 2. Дифференциальная функция распределения неотрицательна

.

Доказательство. Так как интегральная функция распределения неубывающая (свойство 4), то ее производная неотрицательна

.

Свойство 3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение на промежутке , равна определенному интегралу от ее плотности распределения, взятому в пределах от до .

. (1)

Доказательство. Из определения дифференциальной функции распределения следует, что интегральная функция является первообразной для функции . Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница

. (2)

Однако по свойству 5 интегральной функции распределения

. (3)

Учитывая свойство 6 интегральной функции распределения, получаем после объединения равенств (2) и (3).

. ●

Рассмотрим геометрическую интерпретацию свойства 3.

Определение. График дифференциальной функции распределения называется кривой распределения вероятностей случайной величины . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла. Делаем заключение: вероятность того, что случайная величина примет значение на промежутке , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения вероятностей , слева прямой

Свойство 4. Если известна дифференциальная функция непрерывной случайной величины, то ее интегральная функция определяется по формуле

.

Доказательство. Рассмотрим несобственный интеграл первого рода

.

Так как известно (свойство 3 интегральной функции), что

,

то окончательно получаем

. ●

Свойство 5. Несобственный интеграл первого рода

.

Доказательство. Так как

,

то в силу свойства 3 интегральной функции распределения получаем

. ●

Замечание. Если все возможные значения случайной величины содержатся в промежутке , то они тем более содержатся в интервале , а поэтому событие

,

следовательно

и

.

Пример 1. Дифференциальная функция распределения случайной величины задана формулой

.

Найти: а) коэффициент и плотность распределения случайной величины ;

б) интегральную функцию распределения заданной случайной величины;

в) вероятность того, что случайная величина примет значение на промежутке .

Решение. а) Функция определена на интервале . Так как по свойству 5 дифференциальной функции распределения

,

то

откуда находим коэффициент

.

Следовательно, дифференциальная функция распределения заданной случайной величины записывается в виде

.

б) Найдем теперь интегральную функцию распределения, воспользовавшись свойством 4 дифференциальной функции

Таким образом, интегральная функция распределения для заданной случайной величины записывается в виде

.

в) Найдем вероятность того, что случайная величина принимает значение на промежутке

. ●

Пример 2. Случайная величина задана интегральной функций распределения

.

Найти: а) дифференциальную функцию распределения; построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения;

б) вероятность того, что случайная величина примет значение на промежутке.

Решение. а) Так как

,

то

.

Графики интегральной и дифференциальной функций распределения имеют соответственно вид

График

График

б) Вероятность того, что случайная величина примет значение на заданном промежутке, определяем по формуле

.

Поэтому

;

;

. ●