Основные действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=а1+ib1 и z2=а2+ib2, называется комплексное число, определяемое равенством:
z1+z2=(а1+ib1)+(а2+ib2)=(а1+а2)+i(b1+b2).
Вычитание комплексных чисел. Разностью двух комплексных чисел z1=а1+ib1 и z2=а2+ib2, называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с z2, дает в сумме комплексное число z1:
z1-z2=(а1+ib1)-(а2+ib2)=(а1-а2)+i(b1-b2).
Умножение комплексных чисел. Произведением комплексных чисел z1=а1+ib1 и z2=а2+ib2 называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что: i2=-1, i3=(i2)·i=(-1)·i=-i, i4=(i2)2=(-i)·i=-i2=1, i5=i и т. д.,
z1 z2=(а1+ib1)(а2+ib2)=а1а2+ib1а2+iа1b2+i2b1b2;
z1 z2=(а1а2-b1b2)+i(а2b1+a1b2);
Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z=а+ib иz=а-ib есть действительное число и выражается так: zz=а2+b2. Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.
Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.
Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число – замкнутость операций.
Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.
Замечание 3 Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами.
Из замечания 3, в частности, вытекает следующая теорема:
Теорема: Если в многочлен А0хn+А1хn-1+...+Ап с действительными коэффициентами подставить вместо х число а+ib, а затем сопряженное число а-ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.
Основные действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Сложение и вычитание комплексных чисел: в общем виде не выполняется:
Умножение комплексных чисел: Произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.
z1z2=r1(cos1+isin1) r2(cos2+isin2)=r1r2[cos(1+2)+isin(1+2)];
Деление комплексных чисел. Частное двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.
Например: Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме и тригонометрической форме и сопоставить результаты: z1=-2+2i; z2=1-i