- •Дифференциальные уравнения
- •Образцы решения заданий
- •2. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
- •Варианты контрольных заданий
- •В задачах 291 – 300 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
- •Контрольная работа № 8
- •В задачах 321 – 330 исследовать на сходимость ряд.
теоретические вопросы
Дифференциальные уравнения
Задачи, приводящие к понятию дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1 порядка: определение, общее и частное решение. Начальные условия. Геометрическая трактовка. Порядок, степень дифференциальных уравнений.
Понятие о задаче Коши. Теорема существований и единственности.
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Уравнения однородные относительно Х и У.
Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка: однородные и неоднородные (метод замены переменной и вариации произвольной постоянной).
Уравнение Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка: , , .
Однородные линейные уравнения 2 порядка. Структура общего решения. Линейно-независимые решения. Определитель Вронского. Теорема об определителе Вронского.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка. Структура общего решения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка: , где - произвольная функция. Метод вариации произвольной постоянной.
Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами, однородные. Характеристическое уравнение. Определение общего решения, если:
корни характеристического уравнения действительные различные,
корни характеристического уравнения действительные корни характеристического уравнения действительные равные,
корни характеристического уравнения действительные комплексно-сопряженные.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами: . Нахождение частного и общего решения.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами: . Нахождение частного решения.
Линейные уравнения высших порядков. Метод вариации.
Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Определение, решение нормальной системы.
Ряды
Понятие числового ряда, сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
Геометрическая прогрессия. Выяснить поведение ряда при различных значениях знаменателя прогрессии.
Теорема о свойствах числового ряда (отбрасывание членов ряда, суммирование рядов, умножение на постоянный множитель).
Необходимое условие сходимости ряда. гармонический ряд.
Теоремы сравнения.
Признак Даламбера.
Интегральный признак Коши.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Ряды с произвольными членами. Условная и абсолютная сходимость. Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).
Функциональные ряды. Точки сходимости ряда. Область сходимости.
Теорема об интегрировании и дифференцировании равномерно-сходящихся рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Теорема об определении радиуса сходимости степенного ряда.
Свойства степенных рядов (без доказательства).
Ряд Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное условия для разложения функции в ряд Тейлора.
Разложение в ряд Маклорена функции вида: , , .
Биномиальный ряд.
Разложение в ряд функции: , , .
Приближенное вычисление значений функции. Оценка ошибки.
Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
Тригонометрические ряды
Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье. Кусочно - монотонные функции.
Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
Ряд Фурье для функции с периодом 2е.
Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде.