11.Кеңістіктегі акж
Кеңістіктегі АКЖ деп бір жазықтықта жатпайтын,координаттар басы бірдей О(.)-де болатын,реттелген 3 координаттық осьтердің топтастыруын айтамыз.
Y
-абцисс
осі
-ордината
осі
-аппликата
осі
О x
z
z R M(.)-ң координаттарын табу үшін,Ол нүктенің проекциясын қарастыру керек,АКЖ-да кез-келген екі координаттық ось арқ. координаттық жазықтық жүргізуге болады.
XOY,YOZ,ZOX.
M Прох(.)М(||YOZ)= (.)Р
Проy(.)М(||ZOX)=
(.)Q
О y Проz(.)М(||XOY)= (.)R
Q
P P(x,00)
X Q(0,y,0)}=˃M(x,y,z)
R(0,0,z)
(x,y,z) кеңістіктегі М (.)-ң Афиндік координаталары д.а.
X=0˂=˃(.)М € YOZ X=0, Y=0˂=˃(.)М € OZ
Y=0˂=˃(.)М € XOZ Y=0, Z=0˂=˃(.)М € OX
Z=0˂=˃(.)М € XOY Z=0, X=0˂=˃(.)М € OY
OY,OZ, OX координаттық осьтерінде Е1,Е2,Е3 бірлік нүктелерін аламыз.
1,
2,
3
векторлары-
координаттық осьтердің бірлік векторлары
деп аталады.
АКЖ-де 1, 2, 3 ұзындықтары бірдей болуға міндетті емес,,,,,,
12. Кеңістіктегі акж (декарттық тікбұрышты координаттар жүйесі )(рис. 4.4) (Афиндик)
О –координата
басы, Ох –абсцисса
осі, Оy –
ордината
осі, Оz –
аппликата
осі,
-
базистік
векторлар. Oxy, Oxz, Oyz –
координаттық
жазықтықтар, 
-М
нүктесінің
абсциссасы(
- M нүктесінің
Ох осіне
түсірілген
Оyz
осіне параллель проекциясы), 
-
M
нүктесінің ординатасы (
- M
нүктесінің Oy
осіне түсірілген
Oxz
осіне параллель проекциясы), 
-
M
нүктесінің апликатасы (
-M нүктесінің
Oz осіне
түсірілген
Oxy
осіне параллель проекциясы).
Сонымен
кеңістіктегі ДКЖ деп өзара перпендикуляр
болатын О(.)-де
қиылысатын және
1|=
2|=
3|-ретелген
үш координаттық осьтердің топтастыруын
айтамыз.
1=
2=
3=
13.Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. AB кесіндісін жəне M
нүктесін қарастырамыз, онда
M
нүктесінің координаталарын табалық
A(
,
,
)
, B(
,
,
), M
(x,
y,
z)
болсын. Онда
=
( x
−
)(y
–
)(
z
–
),
= (
–
x,
–
y,
−
z)
. AM||
MB,
онда AM = λ ⋅ MB . Немесе
x − = λ ( − x)⇒(1 + λ)x = + λ ⇒
x=
Дəл солай,
y=
,z=
.
14. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп сол векторлардың ұзындықтары мен екеуінің арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісін айтады:
а 
b =
|а|
|b|
cosa^
b.
Анықтама бойынша скаляр көбейтінді скаляр шама болады.
Оның төмендегідей қасиеттері бар:
1) ab=ba
2) Егер a
b болса,
онда а
b= 0.
3) Егер а= b болса, онда ab=а2=|а|2, яғни а2=|а|2.
Осыдан:
|а|=|
|.
4) а
b =
( ab).
5) (a+b) с=ac+ bc.
6) Cos ab= 
.
Скаляр көбейтіндінің геометриялық мағынасы да бар. Егер а мен
b-нің
арасындағы бұрыш 
-ге
тең болса, онда
анықтама
бойынша а
b =
|а|
|b|
cos
=|а|
праb= |b|
прba,
себебі
|а|cos = прba, |b|cos = праb.
Осыдан
прba=
,
праb=
,
яғни бір вектордың екінші векторға түскен проекциясы екеуінің скаляр көбейтіндісі мен бірінің модулы арқылы өрнектеледі. Егер көбейткіш векторлардың координаталары берілсе: a{X1; Y1; Z1}, b{X2; Y2; Z2}, онда
а b =X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.
Осыдан 3) қасиет бойынша кез келген a{ X; Y; Z } векторының ұзындығы оның координаталары арқылы төмендегі түрде өрнектеледі:
|а|=
.
Ал 2) шарт бойынша екі вектордың перпендикулярлық шарты
X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 =0
түрінде жазылады. Кез келген вектордың координаталар осьтерімен жасайтын бұрыштарының косинустарын бағыттаушы косинустар дейді. Оларды да, скаляр көбейтіндіні пайдаланып, вектордың координаталары арқылы өрнектеуге болады. Егер a{ X; Y; Z } векторы берілсе, онда
a
i=|а|cos(a^
i)
= |а|cos
=X,
яғни
|а|cos =X, ал |а|= , осыдан
cos
= 
Сол сияқты,
cos
=
,
cos
=
,
мұнда , , - берілген а векторының сәйкес абсциссалар, ординаталар, апликаталар осьтерімен жасайтын бұрыштары.
17.Оң үштіктің және сол үштіктің анықтамасы.Векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы және оның геометриялық мағынасы.
векторы
берілсін.Егер 3коллинеар емес
векторлары оң(сол) қолдың бас бармақ,сұқ
қол, ортан қол саусақтарына сәйкес
орналасса онда
векторын
үштігін оң,сол үштігі д.а.
Бағыты
сағат тіліне қарама қарсы геометриялық
оң бағыт,сол бағыт сағат тілімен
бағыттас.Кез келген үш векторынан алты
үштік вектор құрауға болады.(
),(
,(
кез
келген үштікте екі вектордың орнын
ауыстырсақ үштік атын өзгертеді.Егер
координата жүйе базистік вектор оң
үштік құраса координаталық жүйе оң д.а.
Егер координата жүйе базистік вектор сол үштік құраса координаталық жүйе сол д.а. Көбіне оң үштікті қолданамыз
Анықтама:О
дік емес
векторының векторлық көбейтіндісі деп
келесі үш шартты қанағаттандыратын
векторын
айтамыз және келесі түрде белгіленеді.
1)
–оң үштік
,
Теорема:
вектордың
көбейтіндісі нөлдік емес,
векторлық көбейтіндісі нөлге тең
болады,сонда және сонда ғана коллинеар
болса
,
,
Дәлелдеу
,
,
немесе
Демек.
коллинеар векторлар
Векторлық көбейтіндісі гоеметриялық мағынасы
Қасиеттері:
=-
2)
3)
4)