§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение.

Напомним, что если является подполем поля , то называется расширением поля . В дальнейшем мы укажем некоторые типы расширений и изучим их структуру. Начнем с так называемых простых расширений.

Пусть – фиксированное поле и – число. Рассмотрим множество всех полей, содержащих поле и число . Это множество не пусто, так как само поле комплексных чисел принадлежит этому множеству. Пересечение всех этих полей также является полем, содержащим и , причем это наименьшее по включению поле, содержащее и .

Определение 2. Пересечение всех полей, содержащих поле и число , называется простым расширением поля с помощью числа и обозначается через . Сам процесс расширения называется присоединением к полю числа .

Если – алгебраическое над полем число, то называют простым алгебраическим расширением, в противном случае – простым трансцендентным расширением поля .

Теорема 1 (о строении простого расширения). 1) Простое расширение состоит из всевозможных чисел, представимых в виде частного значений многочленов из кольца от числа , т.е.

(1)

2) Простое алгебраическое расширение состоит из чисел, представимых в виде значения многочленов из кольца от числа , т.е.

. (2)

□ 1) Обозначим через правую часть равенства (1). Так как и , в силу свойств поля числа

, (3)

принадлежат для любых неотрицательных чисел и , т.е. .

Обратно, так как замкнуто относительно вычитания и деления, то есть подполе поля и, следовательно, поле. Кроме того, полагая в (3) , получим, что . Далее, считая в (3) пробегающим все поле , , заключаем, что . Но поскольку – наименьшее поле, содержащее и , имеем включение . Учитывая теперь доказанное выше включение , получаем равенство . Таким образом, справедливость равенства (1) доказана.

2) Пусть теперь – алгебраическое над полем число и обозначает правую часть равенства (2). Ясно, что . Так как замкнуто относительно вычитания и умножения, то оно является подкольцом поля . Это кольцо коммутативное и имеет единицу. Докажем, что для каждого числа из обратное к нему число также принадлежит . Тем самым будет доказано, что является полем.

Пусть – минимальный многочлен алгебраического числа . Так как , , то не делится на . Поскольку, кроме того, неприводим над полем , многочлены и являются взаимно простыми. Но тогда в существуют такие многочлены и , что

. (4)

Полагая здесь , получим или .

Итак, – поле, которое, очевидно, содержит и . В силу минимальности имеем и, следовательно, . ◘

Замечание 1. Если – трансцендентно над полем , то не все числа поля можно представить в виде . Например, число представимо в таком виде. Действительно, если предположить противное, т.е. , то , т.е. есть корень многочлена , что противоречит трансцендентности .

Примеры.

1. Найти . Так как алгебраическое над полем число, то по теореме 1 . Учитывая, что натуральные степени числа содержатся среди чисел , заключаем, что при любом . Отсюда легко получаем, что =С.

2. Найти . Так как – трансцендентное число, то по теореме 1 .