Дифференциал функции одной переменной

Определение дифференциала сложной функции.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x₀,то есть ее приращение представимо в виде:

Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = AΔx+α(Δx)Δx,

где А - число, не зависящее от Δx, а α(Δx) - бесконечно малая функция при Δx→0.

Тогда выражение AΔx называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначается символом

dy = AΔx.

Геометрический смысл дифференциала функции.

Геометрический смысл дифференциала очень просто устанавливается если вспомнить геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в данной точке х0. Поэтому, если мы начнем записывать уравнение касательной прямой, проходящей через заданную точку кривой, то мы обнаружим интересную особенность в этом уравнении. Действительно, уравнение, проходящее через точку (x0, y0), с угловым коэффициентом k=f'(x0) имеет вид

       

следовательно уравнение касательной записывается в виде

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к кривой в этой точке. Таким образом для уяснения геометрического смысла дифференциала функции вовсе не обязательно рисовать графики функции и касательной, а достаточно всего лишь владеть понятием дифференциала, уметь выводить уравнение прямой с угловым коэффициентом, знать геометрический смысл производной и уметь отличать приращение ординаты касательной прямой от приращения значения функции.

Формула для вычисления дифференциала.

Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.

Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x,

dy = f'(x) dx

Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Формула для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Производные и дифференциалы высших порядков.

Понятие производной n-ого порядка.

Производная от первой производной некоторой функции у = f(x) называется второй производной, или производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной называется третьей производной, или производной третьего порядка. Этот процесс можно продолжить. Производные начиная со второй называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы: у", у'", у(4), у(5), ..., у(n) (для второй и третьей производных соответственно еще и у(2) и у(3)) или вместо у пишут f(x): f"(x), f"(х), ..., f(n)(x).

Дифференциал второго порядка: определение, формула для вычисления.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции    в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .

Для функции, зависящей от одной переменной    второй дифференциал выглядит так:

Эластичность функции.

Понятие эластичности функции.

Эластичностью функции   в точке   называется следующий предел:

.                               

Эластичность как коэффициент пропорциональности.

Эластичность   – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями   и  . Эластичность функции выражается через производные так:

.   

Связь эластичности и производной .

Эластичность степенной и показательной функции (этот параграф по лекции или учебник Вединой).

Приложения производной

Теорема Лагранжа , формула конечных приращений, геометрический смысл теоремы.

Правило Лопиталя, . Раскрытие неопределенностей.

Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, форма Лагранжа. Формула Маклорена.

Признаки монотонности функции на интервале . Общая схема исследования функции на монотонность.

Понятие локального экстремума функции.

Необходимое условие экстремума . Понятие критических и стационарных точек.

Достаточные условия экстремума по первой производной . Общая схема решения задачи на экстремум функции.

Направление выпуклости графика функции (определение).

Достаточное условие выпуклости .

Определение точки перегиба.

Необходимое условие перегиба .

Достаточное условие точки перегиба .

Асимптоты графика функции.

Определение вертикальной, наклонной и горизонтальной асимптоты.

В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами.

.Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности.

Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю.

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

.

Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде

Определение параметров наклонной асимптоты .

Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде

Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты:

Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов:

Доказательство: Пусть:

Пусть:

Следовательно существует асимптота.