- •§1. Эллипс
- •2. Исследование формы эллипса по его уравнению
- •3.Эксцентриситет эллипса
- •4.Параметрические уравнения эллипса
- •5.Построение точек эллипса
- •§2 Гипербола
- •1. Определение гиперболы и её уравнение
- •2. Исследование формы гиперболы по её уравнению
- •3.Эксцентриситет гиперболы
- •5.Построение точек гиперболы
- •§3. Парабола
- •1. Определение параболы и её уравнение
- •2. Исследование формы параболы по его уравнению
- •3.Построение точек параболы
- •§4.Решение задач
2. Исследование формы параболы по его уравнению
Пусть дана парабола своим каноническим уравнением (7).
Для определения вида кривой заданной уравнением (7), заметим:
а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют
уравнению (7). => Парабола проходит через начало координат.
б) Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то из уравнения (7) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит параболе. => Парабола симметрична относительно оси Ох.
в) Если , то все точки параболы расположены в полуплоскости .
г) Продифференцируем равенство по х: . => При у > 0 функция у(х) является возрастающей, а при у < 0 ─ убывающей.
д) Продифференцировав выражение по переменной х, получаем: . => Кривая при у > 0 ─ выпукла, а при у < 0─ вогнута.
Рис. 13.
Проведённое исследование позволяет построить изображение параболы, приведённое на рис. 13.
3.Построение точек параболы
Построить параболу с фокусом в точке F и директрисой d можно следующим образом.
а) Через фокус F проводим прямую (Ох), перпендикулярную директрисе d.
б) Строим вершину параболы, то есть точку О, которая является серединой отрезка [ON], где N точка пересечения директрисы и (Ох) .
Рис. 14.
в) Проводим произвольную прямую ℓ параллельную директрисе.
г) Строим окружность , где . Точка М= ω∩ℓ принадлежит параболе с фокусом в точке F и директрисой ℓ.
Чтобы получить достаточное число точек параболы необходимо повторить пункты в) и г).
§4.Решение задач
Задача №1. Составить каноническое уравнение эллипса расстояние между фокусами, которого равно 16, а большая ось ─ равна 20.
Решение.
Если расстояние между фокусами равно 16, то и так как большая ось равна 20, то . Для того чтобы составить уравнение эллипса необходимо определить значение его малой полуоси . Воспользуемся следующим соотношением => = > b = 6.
Следовательно, уравнение эллипса имеет вид .
Задача №2. Составить уравнение эллипса, если эксцентриситет равен ¾ и эллипс проходит через точку А(1;1).
Решение.
Для записи канонического уравнения эллипса необходимо знать значения его большой и малой полуосей .
Так как , то .
С другой стороны точка А(1;1) принадлежит эллипсу
. => .
Так как , то .
Запишем каноническое уравнение эллипса .
Задача №3. Найти длину перпендикуляра, восстановленного из фокуса эллипса к большой оси до пересечения с эллипсом.
Р ешение.
Восстановим из фокуса F
перпендикуляр до
пересечения с эллипсом
в точке М. По условию
задачи необходимо найти
длину [FM]. Координаты фокуса F(с;0) определяются по формуле . => Прямая (FM) имеет уравнение : х = 4.
Для нахождения координат точки М необходимо решить систему уравнений
=>
=> . Очевидно, что │FM│= .
Задача №4. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 2 и расстояние между фокусами равно .
Решение.
Уравнение гиперболы имеет вид . По условию задачи дано и . Известно, что .
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид .
Задача №5. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её эксцентриситет равен 13/5 и гипербола проходит через точку .
Решение.
Для составления канонического уравнения гиперболы необходимо знать значения её действительной и мнимой осей.
По условию задачи дано значение
. С другой стороны так как точка М принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению: . Таким образом для нахождения значений параметров и , неох одимо решить систему уравнений => .
Уравнение гиперболы имеет вид
Задача №6. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с вершинами гиперболы , а вершины совпадают с фокусами этой гиперболы.
Решение.
Так как вершины эллипса совпадают с фокусами гиперболы, то . С другой стороны фокусы эллипса совпадают с вершинами гиперболы => . Так как для эллипса , то . Таким образом уравнение эллипса имеет вид .
Задача №7. На параболе найти точку , расстояние от которой до директрисы равно 4.
Решение.
Каноническое уравнение параболы имеет вид , где р ─
параметр. Уравнение директрисы в общем случае записывается следующим образом . По условию задачи р = 4 и , следовательно уравнение директрисы х + 2 = 0. Если точка М принадлежит параболе, ео она имеет следующие координаты М(х; ) . Так как расстояние от точки М до директрисы равно 4, то по формуле расстояния от точки до прямой для определения значения х, получаем уравнение : . Из уравнения параболы следует, что х > 0, поэтому => х = 2 => М(2; ).
Задача №8. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси (Оу) и отсекающей на прямой у = х хорду длины .
Решение.
Пусть парабола имеет уравнение . С прямой у = х она имеет две точки пересечения: М1(0;0) и М2(х; 2рх). Длина хорды , очевидно равна
│М1М2│= │2рх│ = . Так как р > 0, то . Искомое уравнение параболы имеет вид .
Задача №9. Парабола отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду длина которой равна Написать уравнение этой прямой.
Решение.
Пусть парабола имеет уравнение . С прямой она имеет две точки пересечения: М1(0;0) и . Длина хорды , очевидно равна Так как, по условию задачи р = 1 и длина хорды равна 3/4, то для определения параметра получаем уравнение => => => =>
=> Таким образом существуют две прямые и , от которых парабола отсекает хорду длиной 3/4.
Задача №10. На параболе найти точку, расстояние от которой до прямой равно 2.
Решение.
Если точка М(х;у) лежит на параболе , то она имеет координаты .
Из формулы расстояния от точки до прямой на плоскости следует . => а) => . Таким образом точки М1(0;0) и М2(18;-24) параболы удалены от прямой на расстояние, равное 2.
б) ─ это уравнение не имеет действительных корней.