13. Что называется интервальной оценкой параметра распределения? Какие оценки называются симметричными по вероятности? Определите понятия: доверительная вероятность и точность оценки.

Интервальная оценка представляет собой случайный промежуток, накрывающий оцениваемый параметр с вероятностью, близкой к 1.

Пусть -случайная выборка из некоторого распределения, зависящего от параметра , -определяемый по выборке случайный интервал. Конечные интервалы задаются при помощи двух статистик .

Опр.: Интервальной оценкой параметра называется соотношение , в завис-ти от вида интервала может запис-ся:

1. -двусторонняя оценка

2. -оц сверху

3. -оц снизу

Опр.: Двухсторонняя интервальная оценка называется симметричной по вероятности, если

Опр.: Промежуток называется интервалом для параметра , если при любом допустимом значении вероятность . Число при этом называется доверит вероятностью.

Имеется конечный γ-доверительный интервал - точечная оценка параметра θ. С вероятностью γ абсолютная ошибка в меньше . Величина -точность доверительной оценки. Для односторонних интервалов оценки точности не существует.

14. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный (симметричный по вероятности) интервал для математического ожидания при известной (неизвестной) дисперсии. В каких случаях применима данная формула?

Пусть σ² известна

1)Выберем положительные и

2)

Получаем:

и

Получаем:

-ген среднее, -ген дисперсия, АЛЬФА, n

(1-α)-доверительная оценка µ симметричная по вероятности имеет след. вид:

Теорема: Если Х1,…,Хn независимы и распределены по нормальному закону, то отношение T распределено по закону Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Построение интервала аналогично выше приведенному, но кроме вместо процентных точек стандартного нормального распределения используются процентные точки распределения Стьюдента.

.

Опр.: Двухсторонняя интервальная оценка называется симметричной по вероятности, если

15. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при известном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?

При известном мат. Ожидании существует эффективная точечная оценка дисперсии:

Центральная статистика:

- распределена по закону N(0,1), распределением статистики является хи квадрат.

Зависимость T0 от сигма квадрат является убывающей.

Теорема: Если и независимо, то .

16. Пояснив используемые символы, запишите (1–α)-доверительный интервал (симметричный по вероятности) для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В каких случаях применима данная формула?

При неизвестном мат. ожидании: используется исправленная выборочная дисперсия.

Распределено по закону хи квадрат с n-1 степенями свободы.

17. Запишите приближенный (1–α)-доверительный интервал для генеральной доли признака в случае выборки большого объема n (n→∞). Поясните все используемые символы.

В некоторых случаях при заданном объеме выборки не удается точно найти вероятность, с которой интервал накрывает параметр распределения однако предел вероятности при n стрем. к бесконечности существует и может быть найден по имеющимся данным. Так как при больших n выполняется приближенное равенство:

_{Интервал называется приближенным (асимптотическим) гамма-интервалом.}

Предположим, что признак X распределен по закону Бернулли

Х	0	1
-P0	q	p

Р0- вероятностная мера(относительная частота) . Доля элементов для которых X=1 равна р.

_{-выборка объема n.}

Х	0	1
Отн. частота

_{-соответствующее выборочное распределение признака p и q с крышками – случайные числа.}

Поскольку для распределения Бернулли из оценок для мю получаем следующие 1-альфа доверительные оценки.