- •Числовые последовательности
- •Теоремы о пределах числовых последовательностей.
- •6.Техника дифференцирования. Приложения к экономике.
- •10.Анализ хода графика функции Общая схема исследования функции и построения графика
- •15. Производственные функции затрат ресурсов. Уравнение Слуцкого.
- •17.Частные производные. Градиент. Производная сложной функции.
- •18. Формула Тейлора.
- •24.Метод непосредетвенного интегрирования
1.числовые множества. ограниченные числовые множества. точная верхняя и точная нижняя оценка.
Множества ,элементами которых являются числа ,называются числовыми.
А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов.
Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = Z {nm}, где m - целое число, а n - натуральное число.
числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.
Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел: рациональных и иррациональных.
R –(содержит рациональные и иррациональные числа)-действительные числа
1/3 =0.333…- рациональные числа. Не существует рационального числа,квадрат которого равен числу 2.
Множества-набор определенных объектов. X,Y,A,B-множества , объекты-элементы , x,y,a,b-объекты,элементы. Множество не содержит ни одного объекта.
ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер.
Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число , такое что все элементы не превосходят :
Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число , такое что все элементы не меньше :
Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.
Примером ограниченного множества является отрезок ,
неограниченного — множество всех целых чисел ,
ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч ,
ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч .
Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.
Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .
— множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов
Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .
Замечание : В случае , говорят, что является максимумом , т.е. .
В случае , говорят, что является минимумом , т.е. .
Кванторы: - для любого,всякого,любой всякий ,-найдется ,существует, - соответствие
- равносильность , (следует) : (I )- такое что или имеет место
2.числовые последовательности. Бесконечно малые числовые последоват. Предел числовой последовательности.
Числовые последовательности
Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .
!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.
Основные способы задан. посл-ти:
а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.
б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.
Пример:
а) xn=5n x1=5, x2=10
б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2,3… х2=-11, х3= - 4
предел числовой последовательности.
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
3.теоремы о пределах числовых последовательностей. Замечательные пределы.
(график к 1 зам.пределу)
Предел отношения синуса к его аргументу равен еденице ,когда аргумент стремится к нулю..-первый замеч. Предел.
Теоремы о пределах числовых последовательностей.
Теорема о пределе суммы:
Пусть lim an=a lim bn=b lim an+n=a+b
n+ n+ n+
Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b
n+
2) Теорема о произведение пределов:
Пусть lim an=a lim bn=b lim anbn=ab
n+ n+ n+
Доказательство: an=a+n bn=b+n anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и
n+
требовалось доказать.
Теорема о пределе частного
Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b
n+ n+ n+
Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0
bn
0 (////////b/////////) x
an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)
lim an/bn=a/b
n+
4.понятие функции.обратной,суперпозиции функции.предел и непрерывность функции в точке ,на интервале ,на отрезке.
В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел .
Число b называется пределом функции y=f(x) при х → а, если, по мере того как x, приближается к а – будь то справа или слева значение f(x) неограниченно приближается к b.
Основные свойства предела функции в точке I. Если функция имеет предел при х → а, то только один. II. Если функция имеет предел при х → а, то она ограничена в некоторой окрестности точки a.
III. Если существует и С-постоянная функция (число), то
IV. Пусть , тогда: 1) 2) 3)
Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида и др., которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.
Пример: Вычислить
Используя свойства предела,
Пусть теперь [a,b]-(замкнутый) отрезок в D(f).Назовём функцию f(x) непрерывной на отрезке [a,b], если f непрерывна на интервале (a,b), непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть
Пусть f - некоторая функция, D( f) - её область определения и (a,b) c D ( f) - некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или )7. Назовём функцию f непрерывной на интервале (a,b), если f непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:
Обратной к данной оборотной функции y=f( x) называется такая функция x= g(y) , которая каждому из множества значений функции y=f(x) ставит в соответствие единое число x из области определения.
На рисунке изображенные функция и обратная к ней функция
5.Производная и дифференциал. Дифференцируемость. Пусть функция у = f(x) определена на некотором интервале (а; Ь).
Проделаем следующие операции:
- аргументу х Е (а; Ь) дадим приращение ∆ x: х +∆x ∈ (а; Ь);
- найдем соответствующее приращение функции: ∆y = f(x+∆x)-
- f(x);
- составим отношение приращения функции к приращению аргу-
мента: ∆у/∆х;
- найдем предел этого отношения при ∆x→0: lim ∆у/∆х .
Если этот предел существует, то его называют производной функ-
ции f(x) и обозначают одним из символов f '(х), у';
Производноit фУН1Сции у = f(x) в mО'Ч1Се хо называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю . записывется это так.
Производная функции f(x) есть некоторая функция г(х), nро'Uзведенная
из данной функции.
~ Функция у = f(x), имеющая производную в каждой точке интервала
(а; Ь), называется дифференцируемоit в этом интервале; операция
нахОЖ,Дения производной функции называется дифференцированием.
Значение производной функции у = f(x) в точке х = хо обозначается
одним из символов : f(хо)
видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.