6.3. Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме
При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам. Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:
где с - модуль комплексного числа; φ- аргумент; a - вещественная часть комплексного числа; b - мнимая часть; j - мнимая единица, j = √-1.
С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.
От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:
Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.6.3).
Умножим
комплексное число на множитель
.
Радиус - вектор на
комплексной плоскости повернется на
угол β.
Множитель
называется
поворотным.
Рис.6.3
Если
,
то вектор, умноженный на
,
превратится во вращающийся со скоростью
ω
радиус - вектор.
Выражение
называется
комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим
-
комплексную функцию времени для
напряжения.
- комплексная амплитуда напряжения
(исходное положение вектора в комплексной
плоскости). Определим, чему равна мнимая
часть комплексной функции времени для
напряжения.
Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.
Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку. Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.
Пример.
Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.
Амплитуда
результирующего тока
,
начальная фаза -
.
Мгновенное значение результирующего тока
.
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:
-
закон Ома; (6.4)
- первый закон Кирхгофа;
(6.5)
- второй закон Кирхгофа. (6.6)
Трехфазные цепи
7.1. Основные определения
Трехфазная цепь является совокупностью трех электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе на 120o, создаваемые общим источником. Участок трехфазной системы, по которому протекает одинаковый ток, называется фазой.
Трехфазная цепь состоит из трехфазного генератора, соединительных проводов и приемников или нагрузки, которые могут быть однофазными или трехфазными.
Трехфазный генератор представляет собой синхронную машину. На статоре генератора размещена обмотка, состоящая из трех частей или фаз, пространственно смещенных относительно друг друга на 120o. В фазах генератора индуктируется симметричная трехфазная система ЭДС, в которой электродвижущие силы одинаковы по амплитуде и различаются по фазе на 120o. Запишем мгновенные значения и комплексы действующих значений ЭДС.
Сумма электродвижущих сил симметричной трехфазной системы в любой момент времени равна нулю.
Соответственно
На схемах трехфазных цепей начала фаз обозначают первыми буквами латинского алфавита ( А, В, С ), а концы - последними буквами ( X, Y, Z ). Направления ЭДС указывают от конца фазы обмотки генератора к ее началу. Каждая фаза нагрузки соединяется с фазой генератора двумя проводами: прямым и обратным. Получается несвязанная трехфазная система, в которой имеется шесть соединительных проводов. Чтобы уменьшить количество соединительных проводов, используют трехфазные цепи, соединенные звездой или треугольником.