6. Примеры некоторых непрерывных распределений
6.1 Нормальное распределение
Нормальное распределение имеет плотность вероятности 1/[σ√2π]·e-(x-a)2/2σ2, где a - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение.
Значения плотности нормального распределения для конкретного числового значения x можно вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;a;σ;0). Если a = 0, σ = 1, то такое нормальное распределение называется стандартным. Значения плотности стандартного нормального распределения можно посмотреть в таблице или вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;0; 1;0) График нормального распределения имеет куполообразную форму, он симметричен относительно своего математического ожидания, а на степень его островершинности влияет величина среднего квадратичного отклонения σ.
Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения равны: As(X) = 0; Ex(X) = 0; Mo(X) = a; Me(X) = a, где а - математическое ожидание. Интегральная функция нормального распределения вероятностей:
Интегральная функция распределения вероятностей показывает вероятность того, что с.в. примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x). Численно она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью OX, на интервале от -∞ до x. Ниже дана иллюстрация.
6.2 Равномерное распределение
Плотность вероятности равномерного распределения сохраняет на интервале (a, b) постоянное значение, вне этого интервала плотность вероятности равна нулю. Исходя из основного свойства плотности вероятности, f(x) = 1/(b-a) на интервале (a;b). Интегральную функцию распределения (вероятность того, что с.в. примет значение меньшее, чем x) находим как интеграл от -∞ до x от плотности вероятности: F(x) = (x-a)/(b-a) Графики плотности вероятности и функции равномерного распределения:
Математическое ожидание равномерного распределения: M(X) = (a + b)/2 Дисперсия равномерного распределения: D(X) = (b - a)2/12 Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения: σ(X) = (b - a)/(2√3)