- •Классификация функций по свойствам.
- •Основные элементарные функции. Понятия сложной и обратной функций. Элементарные функции и их классификация.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции, свойства. Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.
- •Основные свойства пределов функции. Замечательные пределы.
- •Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность основных элементарных функций.
- •Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация.
- •Определение и свойства функции, непрерывной на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
- •Понятие производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной.
- •Правила вычисления производной, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производные основных элементарных функций.
- •Производная сложной и обратной функций.
- •Производные функций, заданных в параметрическом виде и неявно.
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
- •Формальное определение
- •Понятия числового ряда, его суммы. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда. Действия с числовыми рядами.
- •Знакопеременные числовые ряды. Понятия абсолютной и условной сходимости, их свойства.
- •Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница.
- •Числовые ряды с комплексными членами.
- •Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса.
- •Функциональный ряд
- •Сходимость
- •Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда, свойства степенных рядов.
- •Признаки сходимости
- •Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
- •Формула Тейлора
- •Понятие тригонометрического ряда Фурье, условия его сходимости.
- •Основные элементарные функции комплексных переменных.
- •1. Дробно-рациональная функция
- •2. Показательная функция:
- •3. Тригонометрические функции:
- •4. Гиперболические функции:
- •5. Логарифмическая функция.
- •6. Общая степенная функция:
- •Дифференцируемость, условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной.
- •Определение аналитической функции комплексной переменной, свойства.
- •Интегрирование функций комплексной переменной. Дифференцирование Определение
- •Разложение аналитических функций в степенные ряды. Понятие ряда Лорана.
Определение и свойства функции, непрерывной на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения. Теорема об обратной функции.
Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.
Т еорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (рис.2).
Наибольшее значение M обозначается символом maxx О [a, b] f(x), а наименьшее значение m — символом minx О [a, b] f(x).
Теорема 3 (Больцано-Коши). Если функция у=ƒ(х) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения ƒ(a)=А и ƒ(b)=В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.
Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124).
Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри
этого отрезка такая, что ƒ(с)=С. Прямая у=С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
Теорема 1. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существуетобратная функция x=f−1(y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей). Доказательство. По условию функция f строго возрастает на множестве X. Это значит для любых x1,x2∈X и x1<x2 следует f(x1)<f(x2). Отсюда следует, что функция f обратима на X, следовательно, для нее существует обратная функция f−1:Y→X . Покажем, что функция f−1 строго возрастает на множестве Y. Пусть y1 и y2- любые точки из Y и y1<y2. Докажем, что x1=f−1(y1)<x2=f−1(y2). Допустим, чтоx1≥x2 . По условию функция f строго возрастает на X, поэтому из условия x1≥x2 вытекает неравенствоy1=f(x1)≥y2=f(x2) , что противоречит условию y1<y2. Таким образом, условие строгой монотонности функции является достаточным для существования обратной функции.
Теорема 2. Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна на промежутке I, то существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на промежутке Ef=f(I) и является на Е, строго возрастающей (убывающей) и непрерывной. Доказательство. Для определенности предположим, что функция f строго возрастает на промежутке I. По следствию из 2-ой теоремы Больцано-Коши область значений Ef=f(I) непрерывной функции f тоже есть промежуток. В силу строгого возрастания функции f для каждого y∈E существует единственная точка x∈I такая, что f(x)=y. Следовательно для функции f существует обратная функция f−1определенная на промежутке Е и с множеством значений I.
Покажем, что f−1 строго возрастает на Е. Пусть y1 и y2-- две произвольные точки из Е, такие, что y1<y2 и прообразами этих точек будут точки x1и x2. f−1(y1)=x1, и f−1(y2)=x2.
Поскольку f - строго возрастающая функция, то неравенство y1=f(x1)<f(x2)=y2 возможно тогда и только тогда когда x1<x2 или тоже самое, когда f−1(y1)<f−1(y2). В силу произвольности y1 и y2 ∈E делаем вывод, что функция f−1 - строго возрастает на множестве Е. Что и требовалось доказать.