12. Абсолютные показатели вариации. Их значение в статистическом анализе.

Для вариационного ряда важно изучать степень сплоченности всех отдельных значений признака вокруг его среднего значения, степень разбросанности этих значений, степень колеблемости их. Для этого используются показатели вариации, которые делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным показателям относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

1. Размах вариации R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

2. Среднее линейное отклонение: средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от их средней: простое среднее линейное отклонение ; взвешенное среднее линейное отклонение ;

3. Дисперсия – самый распространенный показатель – величина, полученная из квадратов отклонений вариантов от средней арифметической: простая дисперсия - взвешенная дисперсия - В практических вычислениях удобно рассчитывать дисперсию по следующей формуле: , где - средняя из квадратов значений индивидуальных значений признака , а - средняя арифметическая.

В ряде случаев для обеспечения более удобного и простого расчета и исключения погрешностей вычислений из-за ошибок округления применяется способ моментов: , где и - моменты соответственно первого и второго порядка, первый исчисляется по формуле: , а второй: . Если принять d=1, то формула примет следующий вид:

, где - средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от произвольного числа А:

4. Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии. Расчет среднего квадратического отклонения осуществляется по формулам:

Простое среднее квадратическое отклонение -

Взвешенное среднее квадратическое отклонение -

12. Относительные показатели вариации. Их значение в статистическом анализе.

Для вариационного ряда важно изучать степень сплоченности всех отдельных значений признака вокруг его среднего значения, степень разбросанности этих значений, степень колеблемости их. Для этого используются показатели вариации, которые делятся на две группы: абсолютные и относительные. Показатели вариации, приведенные в относительных величинах представляют интерес для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

1. Коэффициент осцилляции – это отношение размаха вариации к средней, в процентах. Отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины.

3. Коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому, рассчитывается в процентах:

12. Виды дисперсии. Правило сложения дисперсий. Свойства дисперсии.

Виды дисперсий:

1. Общая. Взвешенная - простая -

2. Внутригрупповая. Внутригрупповая дисперсия результативного признака в j-й группе вычисляется по формуле: , где - число единиц совокупности в j-й группе, - число единиц совокупности в j-й группе, обладающих i-м значением признака, - i-е значение признака в j-й группе, среднее значение признака в j-й группе.

3. Межгрупповая дисперсия результативного признака , где - среднее значение результативного признака в j-й группе; - среднее значение результативного признака по совокупности в целом.

4. Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется как средняя взвешенная из внутригрупповых дисперсий результативного признака.

, где - число единиц совокупности в j-й группе, - число единиц совокупности в j-й группе, обладающих i-м значением признака, - i-е значение признака в j-й группе

Правило сложения дисперсий:

, где - средняя из внутригрупповых дисперсий, - межгрупповая дисперсия.

Свойства дисперсии:

1. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на постоянное число, то величина дисперсии не изменится.

2. Если все варианты ряда умножить или разделить на постоянное число, дисперсия соответственно увеличится или уменьшится в квадрат этого числа раз.

3. Если частоты ряда уменьшить или увеличить в постоянное число раз, то дисперсия от этого не изменится.

4. Дисперсия равна среднему квадрату вариантов ряда минус квадрат средней арифметической.

5. Общая дисперсия равная средней арифметической из межгрупповых дисперсии плюс межгрупповая дисперсия – правило сложения дисперсий.