Магнитное поле на оси кругового тока

П усть электрический ток силой течет по проводнику радиусом . Найдем магнитное поле на оси тока в точке А, находящейся на расстоянии от центра. Разобьем круговой ток на элементы тока длиной и проведем от произвольного элемента тока радиус-вектор в точку А. Поскольку все элементы тока перпендикулярны и удалены от А на одинаковое расстояние, то модуль вектора магнитной индукции, создаваемой в этой точке произвольным элементом тока, определяется следующим выражением:

.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются вектора и , как показано на рисунке.

Разложим вектор на две составляющие: параллельную оси – и перпендикулярную ей – . Очевидно, что составляющие , созданные элементами тока, располагающимися на противоположных концах любого диаметра кругового проводника, равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, эти составляющие уничтожают друг друга. В итоге результирующая величина вектора магнитной индукции не содержит нормальной составляющей и направлена вдоль оси кругового тока. Поэтому вектор магнитной индукции можно определить, просуммировав составляющие модулей вектора (учитывая то, что этот вектор направлен вдоль положительной нормали к контуру с током):

Преобразуем полученное выражение, учитывая, что , .

После подстановки получим

В центре кругового тока , индукция магнитного поля равна

(7)

Вдали от контура на оси ( ):

(8)

Если умножить числитель и знаменатель этого выражения на , получим:

где – площадь, охватываемая круговым током.

Учитывая, что произведение для контура с током есть магнитный момент контура, введенный нами ранее, выражение для индукции магнитного поля, созданного замкнутым круговым током вдали от тока, можно записать в виде:

(9)

Записывая это соотношение, приняли, что вдали от кругового тока .

Г рафическими методами покажем вид магнитного поля. На рисунке изображены линии магнитной индукции поля кругового тока. Показаны линии, лежащие в одной из плоскостей, проходящей через ось тока и показаны направления векторов индукции магнитного поля, образованного круговым током. Векторы индукции показаны в точке, лежащей на оси, которая проходит через центр кругового тока, как это изображено на рисунке. Векторы образуют симметричный конический веер. Из соображений симметрии следует, что результирующий вектор направлен вдоль оси контура.

Магнитное поле равномерно движущегося заряда

Определим величину магнитного поля, создаваемого точечным зарядом , движущимся с постоянной нерелятивистской скоростью . Движущиеся заряды создают ток, поэтому выражение для магнитной индукции поля, создаваемого движущимся зарядом, получим из формулы (3):

Пусть имеются носители заряда любого знака, которые упорядоченно движутся со скоростью . Эти носители создают ток , где – площадь поперечного сечения, например, проводника, - число носителей заряда в единице объема (концентрация). В записанной выше формуле преобразуем числитель следующим образом:

В итоге получим выражение вида

(10)

Произведение это объем отрезка провода длиной , поэтому произведение равно числу носителей тока в этом объеме. Если выражение (10) разделить на ,то найдем магнитную индукцию поля, создаваемого одним носителем тока , который движется со скоростью :

Установлено, что полученное выражение справедливо для любых точечных зарядов, например, для заряженных шариков, размеры которых много меньше .

В связи с этим окончательно получим

(11)

В формуле (11) – это радиус-вектор, проведенный от заряда к точке наблюдения, – его модуль. Конец радиус-вектора неподвижен в рассматриваемой системе отсчета, а его начало движется со скоростью , поэтому вектор в принятой системе отсчета зависит не только от положения точки наблюдения, но и от времени.

В соответствии с полученной формулой вектор располагается перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и . Направление вектора (вверх или вниз) определяется векторным произведением .