19. Тип. Зр непр. С.В. Нормальный закон распределения.
Опр.
Непрер. С.В.
Х имеет норм. закон распред-ия (распред.
Гаусса) с параметрами a
и
,
если её плотность вер-ти имеет вид:
где
Св-ва норм. закона . распред:
1.
2.
где
(x)
–функция Лапласа;
– наз.
квантилем норм. закона распр.
Правило трёх сигм:
Если С.В. X
имеет норм. закон распред., то вер-ть
отклонения С.В. Х
от её мат.
ожид-ия на величину
примерно равна 1. Верно и обратное.
20. Точные законы распред. С.В. Распред-е Пирсона (хи-квадрат).
Опр.
Непрерыв.
С.В.
(где Xi
–
непрерыв. С.В. по закону Гаусса) с n
степенями
свободы распределена по закону Пирсона,
плотность распред-ия кот. равна:
Параметром распред-ия явл. n-число степеней свободы, кот. опред-ся числом исходных С.В. распределенных по закону Гаусса.
Числ. характер-ки:
Сущ. табл. значений
распред-ия Пирсона для различ. значений
уровня значимости
и степеней свободы n.
При n
30 распред-ие
практич.
совпадает с норм. законом распред-ия,
при чем С.В.
имеет
распред-ие близкое к распред-ию Гаусса.
Применяется в мат. статистике при оценке доверительных интервалов и проверке статистич. гипотез.
37. Общие сведения о выборочном методе.
В практике стат. наблюдений различ. 2 вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты и выборочное, когда изучается часть объектов.
Вся подлежащая изучению совок-ть объектов наз. генеральной совок-тью. Понятие генеральной совок-ти в опред. смысле аналогично С.В. (закону распред. вероятностей).
Та часть объектов, кот. отобрана для непосредственного изучения из генеральной совок-ти, наз. выборкой.
Различ. след. виды выборок: 1)Собственно-случайная, образована случайным выбором элементов без расчленения на части или группы; 2) Механич. выборка, в кот. элементы из генеральной совок-ти отбираются через опред. интервал; 3)Типичечкая выборка, в кот. случайным образом отбираются элементы из типических групп, на кот. по некот. признаку разбивается генеральная совок-ть; 4)Серийная выборка, в кот. случайным оразом отбираются не элементы, а целые группы совок-ти, а сами серии подвергаются сплошному наблюденю.
Используют два способа образования выборок:
-Повторный отбор (по схеме возвращенного шара)
-Бесповторный отбор (по схеме невозвращенного шара)
Важнейшей задачей выборочного метода явл. оценка параметров (характер-ик) генеральной совокуп-ти по данным выборки.
38. Точечная оценка параметров распред-ия. Требования к ф-иям выборки.
Точечной оценкой
(тэта)
– параметр
распред-ия
наз. всякую
ф-ию рез-тов наблюдений над признаком
х, с
помощью кот. судят о значении параметра
.
Т.к. элементы
выборки носят случайный характер,
следовательно и оценка параметра
явл. С.В. Для
оценки одного и того же параметра
распред-ия можно придумать несколько
ф-ий выборки
.
Кач-во
используемой ф-ии выборки можно оценить
не по отдельным её значениям, а лишь по
распред-ию её значений в большой серии
испытаний, т.е. по выборочному распред-ию
оценки параметра распред-ия.
К наиболее осн. св-вам оценок параметров распред-ия отн-ся: св-ва несмещенности; состоятельности и эффективности.
Оценка
наз. несмещенной
если её мат.
ожидание равно оцениваемому параметру.
Оценка наз. эффективной, если она обладает мин. дисперсией среди всех возм. несмещенных точек.
Оценка
наз.
состоятельной,
если она сходится по вер-ти к значению
параметра
,
т.е. выполняется условие
для любого
.
Выполнение этого условия означает, что
с увелич. Объема выборки возрастает
наша уверенность в малом по абсолют.
величине отклонении оценки
от истинного
значения параметра
.
Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она должна быть отобрана случайно.