2.3 Спектр периодического регулярного сигнала

. Спектр периодического сигнала – это отражение в области частот параметров ортогонального ряда Фурье.

Предположим, что - чётная функция времени.

Коэффициент b_n

равен нулю

Коэффициент a_n

не будет равен нулю

Если нечетная функция, b_n0, а a_n=0. Это очень полезное свойство, так как позволяет сократить объем вычислительной работы выбором начала отсчета сигнала.

0 0 0 S(t) – ни чётная, ни нечётная

S(t) - чётная S(t) - нечётная

Рис. 9 Выбор начала отсчета сигнала

Понятие спектра- важнейшее в теории связи. Через него решаются проблемы экономного использование частотного ресурса среды передачи, задачи множественного доступа, помехоустойчивости и т. д.

2.6.Практическая ширина спектра периодического сигнала

Как следует из рядов Фурье, при , n₁  то есть спектр сигнала бесконечен. В технике нет таких устройств, которые пропустили бы такой спектр сигнала.

Отсюда следует вывод о необходимости разумного ограничения полосы частот занимаемой сигналом.

Можно руководствоваться несколькими критериями ограничения полосы в зависимость от решаемой задачи.

а.) За основу может быть принято степень уменьшение амплитуд спектральных составляющих (уменьшение амплитуд гармоник) А₁, А₂, А₃… .

Например, найти =n₁ при котором A_n в 10 раз меньше А₁.

б.) важную роль играет спектр в формировании временной функции сигнала. Высокие частоты формируют сигнал в области малых времен, а низкие в области больших. Искажения полученные при ограничении спектра

могут быть положены в основу соответствующего критерия.

Исходный сигнал

Искаженный сигнал

U_пор

t’₀ – время задержки срабатывания устройства

t₀

Рис.11 Искажения сигнала при ограничении спектра

чем шире спектр сигнала, тем меньше его искажения во временной форме.

в.) В задачах оптимального приема, разделения сигнала используется энергетическая характеристика сигнала, его средняя мощность. Мы уже знаем, что ее можно определить по временной функции и по спектру

2.7. Ряд Уолша, его ортогональность. Пример представления сигнала рядом Уолша

прямоугольные импульсы единичными амплитудами и разными знаками мгновенных значений (+1, -1), обозначаются как waln(t), где n порядок.

Легко доказывается их ортогональность; для этого достаточно рассмотреть интеграл

Так как произведение базисных функций при mn дает либо +1, либо-1 на части периода, а число таких частей четное, результат интегрирования получается нулевым . При m=n произведение имеет один знак и интеграл не равен нулю. Ряд Уолша имеет следующий вид:

.

Рассмотрим пример применения ряда Уолша для линейно изменяющегося сигнала (рис. 14).

U(t)

U

t

Его математическая форма .

для ортогонального ряда определим коэффициенты an , :

Чем больше членов ряда Уолша тем ближе будет приближаться сигнал разложенный в ряд Уолша к истинному сигналу.

В настоящее время области применения рядов Уолша следующие:

а.) Формирование псевдослучайных (шумоподобных) сигналов.

б.) Синтез непрерывных сигналов средствами цифровых устройств.

сигнал, полученный

рядом Уолша U

исходный сигнал

1-й член ряда

2-й член ряда

-1/2 0 ½ t

Рис. 15 Представление сигнала рядом Уолша