- •6. Каноническое уравнение линий 2 порядка. Уравнение в полярных координатах. Общее уравнение линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- •7. Комплексное число
- •8. Числовые последовательности и ряды.
- •9. Функции одной и нескольких переменных. Кривые спроса и предложения. Предел…
- •1.1. Понятие функции одной переменной
- •1.2. Способы задания функции одной переменной
- •10. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Правила дифференцирования. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •12. Задачи оптимизации в экономике. Условный экстремум. Метод Лагранжа. Общая постановка
- •Классы p и np
- •16. Случайные события. Свойства вероятностей. Случайные величины и их характеристики. Риск и эффективность операции. Цена игры.
- •17.Графы. Классические задачи теории графов.Сетевые модели и их оптимизация. Поиск в глубину и в ширину.
- •20. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Оптимизация потока перевозок. Транспортная задача.
- •13. Опред. И неопред. Интеграл, их св-ва и вз-зь. Условия интегрируемости: необх. И достаточные. Численное интегрирование.
- •19. Основ.Задачи теории кодирования. Алфавитные коды и их св-ва….
13. Опред. И неопред. Интеграл, их св-ва и вз-зь. Условия интегрируемости: необх. И достаточные. Численное интегрирование.
Опред.интеграл
Опр.2. Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). Разобьем отрезок [a,b] точками на n более мелких отрезков , длины которых
. На каждом из этих отрезков выберем по точке . Длину наибольшего отрезка обозначим через .
Определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] называется предел интегральных сумм:
Выражение, стоящее под знаком предела, называется интегральной суммой для функции f(x) по отрезку [a,b]. Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Из задачи о вычислении площади криволинейной трапеции вытекает следующий геометрический смысл определенного интеграла: если на [a,b], то
где S – площадь криволинейной трапеции (рис.1).
(В дополнение) Еще существует задача «Вычисление пути, пройденного материальной точкой», кот. решается с пом. опред.интеграла.
Определенный интеграл обозначается символом
Его можно найти по формуле Ньютона — Лейбница:
Пример: Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Выносим константу за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Основные свойства определенного интеграла
1) k - постоянная.
2) .
Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам неопределенного интеграла.
Следующее важное свойство определенного интеграла часто используется в приложениях:
3)
где c – любая точка из (a,b).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует такая точка c из (a,b), что
.
5) Если на [a,b], то
6) Если на [a,b], то
7) Если на [a,b], то
.
Неопред.интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если , где С – произвольная постоянная.
Опр.1 Совокупность всех первообразных для непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается
где функция f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента. Таким образом, если F(x) – какая-либо первообразная для f(x), то . Процесс нахождения неопределенного интеграла -интегрирование этой функции.
Пример: Найти неопределенный интеграл.
Решение:
Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие свойства:
5)
Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно:
Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница.
Необходимое условие интегрируемости.
Теорема.Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.
Необх. и достат. условие интегрируемости:
Теорема. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0 (2.1).
Это условие означает, для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для любого разбиения τ мелкости меньше, чем δ выполняется неравенство: ∣Sτ−sτ∣<ε (2.2). Т.к. sτ≤Sτ , то из (2.2) следует Sτ−sτ<ε .
Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.
Численное интегрирование применяется, когда:
-Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.
-Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .
В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
Численные методы:
1) Одномерный случай
-Метод прямоугольников; Метод трапеций; Метод парабол (метод Симпсона); Увеличение точности; Метод Гаусса; Метод Гаусса-Кронрода; Метод Чебышева; Интегрирование при бесконечных пределах; Методы Монте-Карло; Методы Рунге-Кутты; Метод сплайнов
2) Многомерный случай