![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •3.Инвариантность формы первого дифференциала
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Оценка точности вычисления определённого интеграла
- •Вопрос 11
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Описание метода
- •Оценка погрешности
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Сходимость степенных рядов
- •Признаки сходимости
- •Вопрос 23 Ряды Тейлора и Маклорена разложение основных элементарных функций
- •Вопрос 25
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
Вопрос 21
Функциональный
ряд —
ряд, каждым членом которого, в отличие
от числового
ряда,
является не число, а
функция
.
Область
сходимости,
множество значений переменного х,
для которых функциональный ряд
сходится.
Признаки равномерной сходимости
Признак сравнения
Ряд
сходится
абсолютно и равномерно, если выполнены
условия:
Ряд
сходится равномерно.
Частным
случаем является признак
Вейерштрасса,
когда
.
Таким образом функциональный ряд
ограничиваеся обычным. От него требуется
обычная сходимость
Признак Дирихле
Ряд
сходится
равномерно, если выполнены следующие
условия:
Последовательность действительнозначных функций
монотонна
и
Частичные суммы
ряда равномерно ограничены.
Признак Абеля
Ряд сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
Последовательность действительнозначных функций равномерно ограничена и монотонна .
Ряд равномерно сходится.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
Теоремы о непрерывности
Рассматриваются
комплекснозначные функции на множестве
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
Последовательность
функция
непрерывна
в точке
Тогда
непрерывна
в
.
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.
Ряд
функция непрерывна в точке
Тогда
непрерывна
в
.
Теоремы об интегрировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
функция
непрерывна
на отрезке
на
Тогда
Теорема о почленном интегрировании.
функция непрерывна на отрезке
на
Тогда
Теоремы о дифференцировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
функция непрерывно дифференцируема на отрезке
сходится
на
отрезке
Тогда
—
непрерывно дифференцируема на
,
на
Теорема о почленном дифференцировании.
функция непрерывно дифференцируема на отрезке
сходится
равномерно
сходится на отрезке
Тогда
—
непрерывно дифференцируема на
,
на
Вопрос 22
. Степенные ряды, Теорема Абеля, Радиус сходимости, свойства степ. рядов
Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим
функцию
.
Ее
областью определения является множество
тех значений x,
при которых ряд сходится. Область
определения такой функции
называется интервалом
сходимости.
Если
интервал сходимости представляется в
виде
,
где R
> 0,
то величина R называется
радиусом
сходимости.
Сходимость ряда в конечных точках
интервала проверяется отдельно.
Радиус
сходимости можно вычислить, воспользовавшись
радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера: