Магнитная проницаемость

.

Обозначим

,

где назовём магнитной проницаемостью магнетика.

.

Для вакуума , так как в нем нет молекулярных токов, следовательно, , поэтому .

Таким образом, индукция магнитного поля в вакууме

.

.

Из выражения следует, что магнитная проницаемость вещества показывает во сколько раз индукция магнитного поля в веществе больше, чем в вакууме, если поле в вакууме создаётся теми же токами, что и в веществе.

Напряженность магнитного поля.

Поскольку в магнетике создаётся собственное магнитное поле молекулярными токами, то результирующее магнитное поле можно рассматривать как суперпозиция внешнего и внутреннего магнитных полей:

, (1)

где , и - магнитные индукции результирующего, внешнего и внутреннего полей, соответственно.

Возьмём ротор от выражения (1):

. (2)

Так как внешнее магнитное поле (поле в вакууме) создаётся токами проводимости, то

, (3)

где - плотность тока проводимости.

В нутреннее магнитное поле создаётся молекулярными токами, поэтому

, (4)

где - плотность молекулярных токов.

Подставляя (3) и (4) в (2), получаем:

(5)

Найдём .

Обойдём внутри магнетика по замкнутому контуру L, часть которого пройдёт внутри некоторого косого цилиндра объёмом dV , с длиной образующей dl, и с площадью основания , образованного молекулярными токами величиной d (рис.1).

Силу тока можно выразить через плотность тока:

. (6)

С другой стороны

, (7)

где - сила одного молекулярного тока, - количество молекулярных токов (молекул) в объёме dV.

, (8)

где - концентрация молекул.

Подставляя (8) в (7), получаем

.

Здесь .

Тогда

.

Так как для однородного магнетика

,

то

. (9)

Подставляя (6) в (9) получаем:

.

Интегрируем последнее выражение

, (10)

где S – поверхность, натянутая на контур L.

По теореме Стокса

. (11)

Подставляя (11) в (10), получим

,

откуда

. (12)

Подставляем (12) в (5):

.

Разделим это выражение на и перенесём в левую часть:

;

. (13)

Введём обозначение

, (14)

где назовём напряжённостью магнитного поля.

Подставляя (14) в (13), получаем

. (15)

Напряжённость магнитного поля в дополнение к индукции является вспомогательной характеристикой магнитного поля и, как следует из выражения (15), обладает тем замечательным свойством, что определяется только плотностью тока проводимости , хотя формула (15) была получена для магнетика, в котором имеются также молекулярные токи. Формулу (15), разумеется, можно применять также и для вакуума, где могут быть только токи проводимости.

Выражение (14) удобнее представить в следующем виде:

. (16)

Обобщая, заключаем, что намагниченность определяется только молекулярными токами, так как

,

напряжённость магнитного поля в магнетике (как и в вакууме) определяется только токами проводимости, так как

,

а индукция магнитного поля в магнетике определяется суммой токов проводимости и молекулярных токов, так как

.

Используя теорему Стокса для вектора , получим:

.

Так как есть сумма токов проводимости, то

(17)

Это выражение называется законом полного тока или теоремой о циркуляции для напряжённости магнитного поля.

Вопрос №17 Закон полного тока для магнитного поля в веществе.

В случае поля в веществе, закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции В) запишется так: (1), где I и I - соответственно алгебраические суммы макротоков и микротоков, охватываемых контуром L.

Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля в веществе по произвольному замкнутому контуру, мысленно выделенному в магнитном поле, равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму макротоков и микротоков, охватываемых контуром L.

Преобразовав (1) , можно получить: .

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме макротоков, охватываемых контуром.

Билет №18. Ферромагнетики. Кривая намагничивания ферромагнентика. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Природа ферромагнетизма.

Ферромагнетиками называются твердые вещества, обладающие при не слишком высоких температурах самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью, которая сильно изменяется под влиянием внешних воздействий – магнитного поля, деформации, изменения температуры. Ферромагнетики в отличие от слабомагнитных диа- и парамагнетиков являются сильно магнитными средами: внутреннее магнитное поле в них может в сотни и тысячи раз превосходить внешнее поле.

Ферромагнетики обладают весьма специфическими свойствами:

1. Сложная (нелинейная) зависимость B = f (H) (рис. 10)

2. Магнитная проницаемость не является константой для данного вещества и сложным образом зависит от внешнего (намагничивающего) поля H (рис. 11), достигая максимума при некотором значении Hmax.

3. Для ферромагнетиков характерен гистерезис, т.е. отставание изменений B от изменения H (рис. 12). Эта зависимость выражается петлеобразной кривой и называется петлёй гистерезиса.

На петле гистерезиса выделяются несколько характерных точек:

а) Hнас. - поле, в котором наступает насыщение, т.е. фактически прекращается рост индукции B (точка 1);

б) Br- остаточная индукция, т.е.индукция, которая остаётся при снятии внешнего поля;

в) Hс- коэрцитивная сила -обратное поле, которое уничтожает остаточную индукцию. В зависимости

от величины коэрцитивной силы ферромагнетики делятся на жёсткие (с большой коэрцитивной силой) и мягкие (с малой коэрцитивной силой);

д) Каждый ферромагнетик характеризуется своей точкой Кюри, т.е. температурой, при которой он теряет

ферромагнитные свойства и превращается в парамагнетик. Это фазовый переход-второго рода. Точка Кюри у железа равна 1043К, у кобальта 1403К и у никеля 631К

Все эти особенности обусловлены тем, что

ферромагнетики имеют доменную структуру, а именно в отсутствие внешнего поля кристалл ферромагнетика самопроизвольно (спонтанно) разбивается на мелкие области, намагниченные до насыщения. Они

отделяются друг от друга доменными границами (доменными стенками)(рис. 13).

В целом кристалл не намагничен, так как магнитные моменты соседних доменов друг друга взаимно компенсируют.

Как было установлено в опытах Эйнштейна и де Гааза, ответственными за

ферромагнетизм являются спиновые магнитные моменты. Параллельное

ориентирование спинов в пределах домена оказывается энергетически выгодно.Оно обусловлено действием особых обменных сил, имеющих квантовую природу.

Намагничивание ферромагнитного образца во внешнем магнитном поле состоит, во-первых, в смещении границ доменов и росте размеров тех доменов, векторы магнитных моментов которых близки по направлению к магнитной индукции В поля, и, во-вторых, в повороте магнитных моментов целых доменов по направлению поля В. В достаточно сильном магнитном поле достигается состояние магнитного насыщения, когда весь образец намагничен по полю и его намагниченность J не изменяется при дальнейшем увеличении В.

Природа ферромагнетизма

Развитие теории ферромагнетизма Френкелем и Гейзенбергом, а также ряд экспериментальных фактов позволили выяснить природу элементарных носителей ферромагнетизма. В настоящее время установлено, что магнитные свойства ферромагнетиков определяются спиновыми магнитными моментами элект­ронов (прямым экспериментальным указанием этого служит опыт Эйнштейна и де Гааза). Установлено также, что ферромагнитными свойствами могут обладать только кристаллические вещества, в атомах которых имеются недостроен­ные внутренние электронные оболочки с нескомпенсированными спинами. В подо­бных кристаллах могут возникать силы, которые вынуждают спиновые магнитные моменты электронов ориентироваться параллельно друг другу, что и приводит к возникновению областей спонтанного намагничения. Эти силы, называемые обменными силами, имеют квантовую природу — они обусловлены волновыми свойствами электронов. Так как ферромагнетизм наблюдается только в кристаллах, а они обладают анизотропией, то в монокристаллах ферромагнетиков должна иметь место анизотропия магнитных свойств (их зависимость от направления в кристалле). Дейст­вительно, опыт показывает, что в одних направлениях в кристалле его намагничен­ность при данном значении напряженности магнитного поля наибольшая (направление легчайшего намагничения), в других — наименьшая (направление трудного намагничения). Из рассмотрения магнитных свойств ферромагнетиков следует, что они похожи на сегнетоэлектрики.

В последнее время большое значение приобрели полупроводниковые ферромаг­нетики — ферриты, химические соединения типа МeО×Fе₂О₃, где Me — ион двухва­лентного металла (Mn, Co, Ni, Сu, Mg, Zn, Cd, Fe). Они отличаются заметными ферромагнитными свойствами и большим удельным электрическим сопротивлением (в миллиарды раз большим, чем у металлов). Ферриты применяются для изготовления постоянных магнитов, ферритовых антенн, сердечников радиочастотных контуров, элементов оперативной памяти в вычислительной технике, для покрытия пленок в магнитофонах и видеомагнитофонах и т. д.

Вопрос №19 Первое уравнение Максвелла.

- скорость изменения индукции магнитного поля.

Физический смысл 1-ого уравнения: Максвелл ответил на вопрос, что является источником переменных электрических полей, а именно этим является переменное магнитное поле.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по неподвижному замкнутому

мысленно выделенному контуру L равна взятому с обратным знаком интегралу по поверхности

S, натянутой на контуре L, от скорости изменения индукции магнитного поля.

Второе уравнение Максвелла.

- интегральная и дифференциальная формы.

Закон полного тока - теорема о циркуляции вектора напряженности H

циркуляция Н магнитного поля по замкнутому контуру L

-Токи проводимости

-Токи смещения

+

Если токи проводимости отсутствуют:

Физический смысл: источником переменных магнитных полей является изменяющиеся

электрические поля.

Третье уравнение Максвелла.

Магнитный поток через произвольную неподвижную замкнутую поверхность, мысленно проведенную в электромагнитном поле, равен нулю.

Четвертое уравнение Максвелла.

Поток смещения через произвольную неподвижную замкнутую поверхность, мысленно проведенную в электромагнитном поле, равен суммарному свободному заряду, который находится внутри области, ограниченной этой поверхностью.

D - поток вектора электрического смещения (электрической индукции).

Или , .

Вопрос №20. Гармонические колебания. Амплитуда, фаза, циклическая частота, период колебаний. Линейный гармонический осциллятор, уравнение движения гармонического осциллятора. Энергия гармонического осциллятора.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

,

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,   — полная фаза колебаний,   — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения — есть гармоническое колебание с циклической частотой  )

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

 (1) 

ω₀ — круговая (циклическая) частота, А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, φ — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω₀t+φ) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.  Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания, за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2π, т. е.    откуда   (2). Величина, обратная периоду колебаний,   (3)  т. е. число полных колебаний, которые совершаются в единицу времени, называется частотой колебаний. Сопоставляя (2) и (3), найдем    Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, во время которого за 1 с совершается один цикл процесса.  Найдем первую и вторую производные по времени от величины s, совершающей гармонические колебания:   (4)   (5)  т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин в формулах (4) и (5) соответственно равны Аω₀ и Аω₀² . Фаза величины в формуле (4) отличается от фазы величины в формуле (1) на π/2, а фаза величины в выражении (5) отличается от фазы величины (1) на π. Значит, в моменты времени, когда s=0, ds/dt имеет наибольшие значения; когда же s становится равным максимальному отрицательному значению, то d²s/dt² равен наибольшему положительному значению. Из выражения (5) непосредственно вытекает дифференциальное уравнение гармонических колебаний   (6)  (где s = A cos(ω₀t+φ)). Решением данного дифференциального уравнения является выражение (1). 

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и мате­матический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна , где w₀ — собственная частота колебаний осциллятора, т — масса частицы. Зависи­мость имеет вид параболы, т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точках с координатами ±x_max полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (–x_max, +x_max). Такой выход означал бы, что ее потенциальная энергия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетическая энергия отрицательна. Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами – x_max <х< x_max «без права выхода» из нее.

Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера, учитывающим выражение для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида , где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение решается только при собственных значениях энергии . Формула показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии E₀=¹/₂ћw₀^. Существование минимальной энергии — она назы­вается энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и пред­ставляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Вопрос №21 Пружинный, математический и физический маятники.

1. Пружинный маятник - механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жесткости) k (Закон Гука), один конец которой жестко закреплен, а на втором находится груз массы m.

k =mg

mg - k =ma

k ( - ) = ma

x = -

-kx =ma

= 2

=

X’’+(k/m)x = f(x); f(x)- равнодействующая внешних сил, соотнесенная к единице массы груза.

X’’+ x = 0

Вращающие упругие силы должны подчиняться закону Гука. Постоянные силы тяжести не оказывают никакое влияние на характер колебаний.

2.Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешена на нерастяжимой невесомой нити и колеблющаяся под действием силы тяжести.

M = m g l sin = IE (M- момент сил, I-момент инерции, Е- угловое ускорение)

I =m sin рад)

- mg l = m E

= = 2

’’ + = 0 x’’+ x=0

3.Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.

M = mg a sin = IE (I-момент инерции, Е- угловое ускорение)

= 0

sin

=

mg a = I ’’

T = 2

Точка, отстоящая на расстоянии l, проведенная от оси вращения по линии, проходящей через центр масс, называется центром качания физического маятника.

= = + a a Центр качания и точка взаимозаменяемы.

Вопрос №22 Колебательный контур. Свободные гармонические колебания в контуре. Преобразование энергии в колебательном контуре.

Контур – это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор, в которой могут возбуждаться электрические колебания.

Гармонические колебания - периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными.

Гармонический закон:

Вопрос №23 Векторные диаграммы. Сложение колебаний одного направления и частоты. Комплексная форма представления колебаний.

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний итд.

Гармоническое (то есть синусоидальное) колебание может быть представлено графически в виде проекции на некоторую ось (обычно берут ось координат Оx) вектора, вращающегося с постоянной угловой скоростью ω. Длина вектора соответствует амплитуде, угол поворота относительно оси (Ox) - фазе.

Сумма (или разность) двух и более колебаний на векторной диаграмме представлена при этом (геометрической) суммой^[1] (или разностью) векторов этих колебаний. Мгновенное значение искомой величины определяется при этом проекцией вектора суммы на ось Оx, амплитуда - длиной этого вектора, а фаза - углом его поворота относительно Ox.

Сложение колебаний одного направления и частоты

В результате сложения одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой образуется новое гармоническое колебание с амплитудой , где и с новой начальной фазой – результирующее колебание той же частоты

По теореме косинусов

Комплексная форма представления колебаний

Формула Эйлера для комплексных чисел  , где  , поэтому уравнение гармонического колебания   можно записать в экспоненциальной форме:  . Вещественная часть представляет собой смещение   при гармоническом колебании  , обычно пишут  .

Вопрос №24 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу.

При сложении взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковыми циклическими частотами образуются не гармонические, а периодические колебания. Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде:

, где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний.

Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как:

и заменяя во втором уравнении cos(wt) на x/A и sin(wt) на , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:

.

Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:

1. α = mπ (m=0, ±1, ±2, ...).

В этом случае эллипс становится отрезком прямой , где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис. 1а), а знак минус — нечетным значениям m (рис. 2б). Результирующее колебание есть гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой , которое совершается вдоль прямой (3), составляющей с осью х угол . В этом случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2. α = (2m+1)(π/2) (m=0, ± 1, ±2,...). В этом случае уравнение станет иметь вид

Это есть уравнение эллипса, у которого оси совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 2). Если А=В, то эллипс (4) превращается в окружность. Такие колебания называются циркулярно-поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний. На рис. 3 даны фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (даны слева) и разностей фаз (даны вверху; разность фаз равна φ).

Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, которые параллельны осям координат. По виду фигур можно найти неизвестную частоту по известной или найти отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко применяемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Вопрос №25 Свободные затухающие механические и электрические колебания. Коэффициент затухания, время релаксации, логарифмический декремент затухания. Добротность. Апериодический режим.

Затухающие колебания - это свободные колебания амплитуда которых из-за потери энергии колебательной системой с течением времени уменьшается.

Причины потери энергии:

1) сила трения в механических системах

2) в электрических колебательных системах – изменения электромагнитной энергии

3) тепловые потери энергии на омических сопротивлениях

Рассмотрим линейные колебательные системы – это системы параметры которых не изменяются.

Например, линейными системами являются пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда выполняется закон Гука), колебательный контур, у которого сопротивление, индуктивность и емкость не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как  , где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется  собственной частотой  колебательной системы.  Решение уравнения запишем в виде  , где u=u(t). После взятия первой и второй производных и подстановки их в выражение найдем   (3)  Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента:  (4) ; (если (ω₀² - σ²)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение  , у которого решение будет функция   . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω₀² >> σ² )   (5)  где   (6)  — амплитуда затухающих колебаний, а А₀ — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации. 

Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен . Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение  называется декрементом затухания, а его логарифм   (7)  — логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы. Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна  (8)  (так как затухание мало (ω₀² >> σ² ), то T принято равным Т₀).  Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, которые система совершает за время релаксации.  Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур).  1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F= -kx, сила трения прямо пропорциональна скорости, т. е.    где r — коэффициент сопротивления; знак минус говорит о том, что сила трения и скорость противоположно направлены.  При этих условиях закон движения маятника   (9)  Используя формулу 

 и считая, что коэффициент затухания равен   (10)  получим полностью идентичное уравнению (1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:    Из выражений (1) и (5) следует, что колебания маятника удовлетворяют уравнению    где частота

   (см. (4)).  Добротность пружинного маятника, используя (8) и (10),   .  2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R≠0) , как известно    Учитывая формулу собственной частоты колебательного контура и принимая коэффициент затухания равным  (11)  дифференциальное уравнение колебаний заряда Q (см. раздел "Свободные гармонические колебания в колебательном контуре") можно записать в аналогичном уравнению (1) виде    Из зависимостей (1) и (5) следует, что колебания заряда подчиняются закону   (12)  с частотой, используя (4), равной 

 (13)  меньшей собственной частоты контура ω₀ . При R=0 формула (13) становится формулой (4).  Логарифмический декремент затухания задается формулой (7), а добротность колебательного контура (8) 

 (14)  Отметим в заключение, что при увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебании увеличивается и при δ=ω₀равен бесконечности, т. е. движение перестает быть периодическим. В этом случае колеблющаяся величина асимптотически стремится к нулю, когда t→∞. Данный процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим. 

Вопрос №26 Волны.

Волны - это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Если колебания гармонические, то и волны тоже гармонические и проходят по закону cos или sin.

При волновом процессе происходит перенос энергии без переноса вещества.

1. Поперечные волны - если точки среды колеблются в направлении перпендикулярном

скорости распространения волны. Такие волны возможно только в твердых веществах за счет упругой деформации сдвига.

2. Продольные волны - это волны, при которых упругая среда колеблется относительно своих положений равновесия вдоль направления скорости распространения волны.

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых дошла волна к одному и тому же моменту времени t.Место для формулы.

Все точки фронта волны колеблются в одинаковых фазах.

Фронт волны разделяет пространство на 2 области: там, где есть колебания, и там, где их нет.

Волновая поверхность-это поверхность, все точки которой колеблются в одинаковых фазах.

Не каждая волновая поверхность является фронтом волны!

Плоская волна — волна у которой фазы колебаний перпендикулярны направлению распространения волны и параллельны друг другу;

Сферическая волна - это волна, фронт которой представляет собой сферу.

Уравнение плоской синусоидальной волны.

-амплитуда волны

Соединим уравнения (1) и (2) и подставив получим

Одномерное волновое уравнение.

S=(x,y,z)-функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z)

Вопрос №27 Распространение волн в среде с дисперсией. Фазовая и групповая скорость волны, их связь.

Дисперсия волн – зависимость фазовой скорости волны от частоты. Данное понятие применимо к волнам любого типа.

Среда называется ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ, если в ней волны разной длины распространяются с разной скоростью. Зависимость скорости волны (фазовой) от длины волны (или, что то же самое, от частоты) называется ДИСПЕРСИЕЙ.

Обычные звуковые волны в одноатомном газе распространяются без дисперсии - их фазовые скорости равны скорости звука   и не зависят от частоты (здесь   - молекулярная масса,   - показатель адиабаты). Если же газ многоатомный, то часть энергии звуковых волн может затрачиваться на возбуждение вращательного движения молекул, а также колебаний атомов внутри молекул. В результате в нек-рой области частот, близких к частоте релаксации   (  - время релаксации, характеризующее перераспределение энергии между степенями свободы молекулы), наблюдается зависимость скорости звука от частоты  :   , где v₀ и   - соответственно скорости звука для малых ( ) и больших ( ) частот. Эта зависимость объясняет "расплывание" звукового импульса (сигнала), поскольку сигнал можно представить как совокупность гармонических волн разных частот, которые движутся вследствие дисперсии с различными скоростями.

При распространении волн большой амплитуды могут наблюдаться нелинейные эффекты, в т.ч. искажения формы волны (рост крутизны волны, обращение волнового фронта, когда, напр., расходящаяся волна становится сходящейся, и т.д.). Эти искажения в случае звуковых волн объясняются различием скоростей перемещения разных точек профиля волны: точки в областях сжатия перемещаются быстрее, чем в областях разрежения (звук в сжатой среде распространяется быстрее, чем в разреженной). Накапливающиеся со временем изменения формы волны ведут к увеличению крутизны её фронта, а затем и к появлению разрывов - ударных волн.

Дисперсия света в веществе объясняется тем, что внеш. электроны в атомах (т.н. оптич. электроны) совершают под действием электрич. поля эл.-магн. волн вынужденные колебания с частотой падающих волн ( ). Колеблющиеся электроны излучают вторичные эл.-магн. волны той же частоты  . Эти волны, складываясь с приходящей волной, образуют распространяющуюся в среде результирующую волну. По мере распространения в среде результирующей волны её фаза смещается по отношению к фазе, к-рую имела бы в этом месте приходящая волна в отсутствие среды. Иначе говоря, волна в среде распространяется с фазовой скоростью v_ф, отличной от фазовой скорости с в вакууме. Особым образом волна ведёт себя в области частот, близких к собственной частоте колебаний электронов  . При   (резонанс) сдвиг фаз первичной волны и вторичных волн равен нулю и v_ф=с (рис., справа). В области, где  , резко возрастает амплитуда вынужденных колебаний электронов и наблюдается значит. поглощение средой энергии падающих волн. Вдали от резонанса при   скорость v_ф > с, а при  v_ф < с. В этих областях нормальной Д. в. скорость v_ф уменьшается с ростом частоты (а показатель преломления увеличивается). В области частот вблизи   значение v_ф увеличивается с ростом   (показатель преломления уменьшается), т.е. наблюдается аномальная Д. в.

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

Наиболее употребительное обозначение:  .

Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности:

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть

 для одномерного случая

Или    для размерности, большей единицы.

Конкретное соотношение между ω и k — так называемый закон дисперсии для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну^[1]

В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), тогда и групповая скорость совпадает с нею.

Скорость распространения фиксированной амплитуды в несинусоидальной волне получается следующей:

 Эта скорость называется ГРУППОВОЙ СКОРОСТЬЮ волны. Она в общем случае отличается от фазовой скорости n:

Связь между этими скоростями можно легко получить (учтя зависимость частоты и волнового числа от длины волны):

Вопрос №28.

При волновом движении происходит перенос энергии, которая состоит из кинетической и потенциальной энергий колеблющихся частиц среды. Причем потенциальная энергия обусловлена деформацией вещества при взаимном смещении частиц. В отличие от колебаний свободного тела в волне не происходит взаимного перехода кинетической и потенциальной энергии частиц. Мгновенные значения той и другой энергии изменяются одновременно (в фазе) соответственно изменению смещения частиц.

Для мгновенного значения энергии (потенциальной и кинетической) одной частицы можно записать:

, где Sсмещение частицы, w- частота колебания частицы, A- амплитуда колебания частицы, V- скорость волнового процесса, в котором участвует частица, m – масса одной частицы.

Из формулы седует, что мгновенные значения энергии каждой частицы среды изменяются во времени с удвоенной частотой колебания, причем в каждый момент времени эти значения для различных частиц отличаются. Однако среднее значение энергии за период колебания для всех частиц одинаково и составляет:

.

Рассчитаем энергию волны для некоторого объема DV среды, в которой она распространяется.

Если в единице объема среды содержится N частиц, то r = Nm —плотность среды и среднее значение энергии волны в объеме DV будет:

Еср = (19)

где — объемная плотность энергии волны.

Величина, численно равная средней энергии Еср, переносимой волной в единицу времени t через заданную поверхность S, перпендикулярную направлению распространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность:

Ф = (20)

и измеряется в единицах мощности - Вт.

Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности, называется плотностью потока энергии:

(21)

и измеряется в Вт/м2.

Плотность потока энергии называют также интенсивностью волны.

В векторной форме:

. (22)

Плотность потока энергии, переносимого волной, можно рассматривать как вектор, совпадающий по направлению с вектором скорости волны.

Вектор, показывающий направление распространения волны и равный потоку энергии, проходящему через единичную площадку, перпендикулярную этому направлению, называют вектором Умова:

. (23)

Вектор Умова для упругой волны зависит от плотности среды, квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скорости распространения волны.

Вопрос №29. Стоячие волны. Уравнение стоячей волны, узлы и пучности. Образование стоячих волн в закрепленной натянутой среде.

Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию.

Образуются в замкнутой на одном или двух концах волны, в результате сложения двух волн: бегущей и отраженной.

Свойства стоячих волн.

1.      Они возникают при интерференции бегущей и отраженной волн, имеющих в точке отражения одинаковую длину волны, но взаимно-противоположные направления распространения.

2.      Все частицы в стоячей волне одновременно проходят через положения равновесия.

3.      Каждая частица имеет свою амплитуду колебаний.

4.      Определенные участки – узлы смещения – находятся постоянно в покое. Расстояние

между двумя соседними узлами равно половине длины волны.

5.   Посредине между узлами находятся участки наиболее интенсивного движения –пучности смещения.

6.   При отражении от более плотной среды (неподвижной стены) в месте отражения возникает узел смещения.

7.   При отражении от менее плотной среды в месте отражения образуется пучность смещения; первый узел смещения отстоит от места отражения на четверть длины волны.

Амплитуда стоячей волны А(ст) в отличие от амплитуды А бегущих волн является периодической функцией координаты от х:

А(ст) = 2А|cos(kx+α/2| .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны А(ст)=0, называются узлами стоячей волны, а точки, в которых амплитуда А(ст) максимальна (А(ст)=2А), называются пучностями стоячей волны.

В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период Т) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота   струна обладает бесчисленным количеством собственных (резонансных) частот f_n. На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.

Рисунок 2.6.6.

Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т. е. с разными значениями n) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Вопрос №30.

Электромагнитная волна – это процесс распространения в пространстве изменяющегося электрического поля и неразрывносвязанного с ним переменного магнитного поля.

Источником этих волн является электромагнитное поле.

Вектора образуют правую тройку векторов.

Как известно, электромагнитные поля определяются путём задания в каждой точке пространства четырёх векторов:

а) вектора напряжённости электрического поля  ;

б) вектора напряжённости магнитного поля  ;

в) вектора электрического смещения  ;

г) вектора магнитной индукции  .

Эти векторы не являются независимыми. Попарно векторы , а также   связаны друг с другом с помощью материальных уравнений. Наиболее простой вид материальные уравнения имеют для однородных изотропных сред, относительные значения диэлектрической  и магнитной  проницаемостей которых имеют постоянные значения для любой точки наблюдения электромагнитного поля: .

Поперечный характер электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую гармоническую электромагнитную волну круговой частоты  , распространяющуюся вдоль оси   в однородной, непроводящей среде с ( ).

Для такой волны в соответствии с её определением вектора   не зависят от координат y и z, т.к. амплитуда их колебаний имеет постоянное значение для любой точки наблюдения, а фаза не изменяется в любой плоскости, параллельной плоскости  . Таким образом, вектора   зависят только от времени   и координаты  . Исключая равные нулю частные производные компонент этих векторов по переменным   получим из  определяющие каждую из декартовых компонент  при   следующие уравнения:

Отсюда следует, что одним из решений системы  являются электростатическое и магнитостатическое поля, поскольку проекции на ось   любого из векторов электромагнитного поля   имеют равные нулю частные производные по координате   и времени  . Тогда, очевидно,   представляют постоянные электрическое и магнитное поля, ориентированные вдоль направления распространения плоской волны, накладывающиеся на меняющееся во времени электромагнитное поле волны и не зависящие от него. По этой причине без ограничения общности можно полагать их равными нулю, т.е.:

.

Следовательно, отличными от нуля компонентами плоской электромагнитной гармонической волны, распространяющейся вдоль оси  , являются:  , перпендикулярные  .

Отсюда следует важный вывод, что вектора напряжённости электрического и магнитного полей плоской электромагнитной гармонической волны колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Волны, обладающие таким свойством, называются поперечными. Следовательно, электромагнитные волны являются поперечными волнами.

Волновые уравнения для и плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси X-ов.

Энергия электромагнитной волны.

Как показывает опыт, электромагнитные волны могут производить различные действия: нагревание тел при поглощении света, вырывание электронов с поверхности металла под действием света (фотоэффект). Это свидетельствует о том, что электромагнитные волны переносят энергию. Эта энергия заключена в распространяющихся в пространстве электрическом и магнитном полях.

В курсе электричества и магнетизма было показано, что объемная плотность энергии электрического поля равна , магнитного поля – ,   и   – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная плотность энергии электромагнитной волны равна

Так как модули вектора напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне связаны соотношением  , то полную энергию можно выразить только через напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля: .

Из (1.4) видно, что объемная плотность энергии складывается из двух равных по величине вкладов, соответствующих плотностям энергии электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры».

Плотность энергии электромагнитного поля можно представить в виде: .

Формула (1.5) характеризует плотность энергии в любой момент времени в любой точке пространства.

Если выделить площадку с площадью S ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку пройдет энергия  , равная ,где   – скорость электромагнитной волны в вакууме.

Плотностью потока энергии называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярной к направлению распространения волны: .Подставляя в последнее соотношение выражения для   и  , получим .

Вопрос №31Интерференция света. Когерентность и монохроматичность. Время когерентности и длина когерентности. Интерференция от двух когерентных источников. Пространственная и временная когерентность.

Интерференция света – это явление сложения когерентных волн, дающее перераспределение интенсивности света в пространстве, с образованием устойчивой интерференционной картины.

Колебания когерентны, если разность их фаз постоянна во времени и при сложении колебаний получается колебание той же частоты.

Монохроматическая волна – это гармоническая волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой.

Временем когерентности называется время, в течение которого разность фаз колебаний соответсвующих рассматриваемых волн не превышает 2 «пи» радиан.

Тогда :

Длина когерентности - это то расстояние, на которое переместится волна за время

когерентности.

• Пространственная когерентность означает сильную корреляцию (фиксированную связь фаз) между электрическими полями в разных местах по всему профилю пучка. Например, в сечении пучка с лазерным дифракционным качеством, электрическое поле в разных местах колеблется фиксированным образом, даже если временная структура усложняется наложением различных частотных составляющих. Для пространственной когерентности необходимым условием является точная направленность лазерного луча.

• Временная когерентность означает сильную корреляцию между электрическими полями в одном месте, но в разное время. Например, на выходе одночастотный лазер может обладать очень высокой временной когерентностью, поскольку электрическое поле со временем развивается весьма предсказуемым образом: оно обладает чистым синусоидальным колебанием в течение длительного периода времени.

Интерференция от двух когерентных источников.

?

Вопрос №32 Интерференция в тонких пленках. Полосы равной толщины и равного наклона. Интерферометр Майкельсона.

Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления n и толщиной d под углом i (рис. 249) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке О луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, а частично преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С, частично преломится в воздух (n₀ = 1), а частично отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы. В результате возникает интерференционная картина, которая определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.

Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими лучами от точки О до плоскости АВ,

 где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ±l₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Если n > n₀, то потеря полуволны произойдет в точке О и вышеупомянутый член будет иметь знак минус; если же n < n₀, то потеря полуволны произойдет в точке С и l₀/2  будет иметь знак плюс. Согласно рис. 249, ОС= СВ= d/cos г, ОА = OBsin I = 2d tgr sini. Учитывая для данного случая закон преломления sini = nsin r, получим

 С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим

Для случая, изображенного на рисунке (n>n0)

В точке P будет интерференционный максимум, если

 и минимум, если

Интерференция, как известно, наблюдается, только если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.

1. Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластины). Из выражений (174.2) и (174.3) следует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами l0, d, n и i. Для данных l0, d и n каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса. Интерференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.

Лучи 1’ и 1’’, отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки (рис. 250), параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельна.

Следовательно, интерферирующие лучи 1 и 1  «пересекаются» только в бесконечности, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1 и 1 соберутся в фокусе F линзы (на рис. 250 ее оптическая ось параллельна лучам 1 и 1), в эту же точку придут и другие лучи (на рис. 250 - луч 2), параллельные лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы. Легко показать, что если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, то полосы равного наклона будут иметь вид концентрических колец с цент ром в фокусе линзы.

2. Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины). Пусть на клин (угол a между боковыми гранями мал) падает плоская волна, направление распространения которой совпадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 251). Из всех лучей, на которые разделяется падающий луч 1, рассмотрим лучи 1’ и 1’’, отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина. При определенном взаимном положении клина и линзы лучи 1' и 1" пересекутся в некоторой точке А, являющейся изображением точки В. Так как лучи 1' и 1'' когерентны, они будут интерферировать. Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол, а ничтожно мал, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами 1' и 1" может быть с достаточной степенью точности вычислена по формуле (174.1), где d - толщина клина в месте падения на него луча. Лучи 2' и 2", образовавшиеся при делении луча 2, падающего в другую точку клина, собираются линзой в точке А'. Оптическая разность хода уже определяется толщиной d'. Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает при отражении от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину (в общем случае толщина пластинки может изменяться произвольно). Интерференционные полосы, возникающие в результате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полосами равной толщины.

α=const

ИНТЕРФЕРОМЕТР МАЙКЕЛЬСОНА 

состоит из двух зеркал М₁ и М₂ и полупроницаемой отражающей перегородки S, наклоненной под углом 45°(рис. 1). Эта перегородка пропускает 50% падающего на нее света и отражает остальные 50%. Расстояния до зеркал L₁ и L₂ одинаковы: L₁ = L₂ =L. Монохроматический свет от источника наполовину проходит через перегородку S, отражается от M₁ и затем попадает на детектор, наполовину отразившись от S (луч 1). Этот путь свет проходит по направлению скорости Земли при ее движении по орбите и в обратную сторону, что соответствует движению пловца по течению и против него. Другая часть пучка света отражается перегородкой S к зеркалу М₂, а на обратном пути проходит через перегородку, попадая в детектор (луч 2). Это соответствует д вижению пловца поперек течения.

Если интерферометр покоится относительно эфира, то время, затрачиваемое первым и вторым лучами света на свой путь, одинаково, и в детектор попадают два когерентных луча в одинаковой фазе. Следовательно, возникает интерференция, и можно наблюдать центральное светлое пятно на интерференционной картине

Вопрос №33 Дифракция света.

Дифракцией называется явление огибания светом препятствий, размеры которых соизмеримы с длиной волны.

При дифракции происходит попадание света в область геометрической тени, то есть отклонение распространения света от законов геометрической оптики.

Дифракционные лучи являются когерентными и при их сложении образуется устойчивая дифракционная картина, представляющая из себя чередование max и min интенсивности.

Явление дифракции присуще любому волновому движению, то есть явление дифракции доказывает волновую природу света.

Теория дифракции основана на принципах Гюйгенса-Френеля

Принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка фронта волны является

источником вторичных волн.

Френель к этому принципу добавил утверждение, что эти источники

когерентные.

На препятствиях, соизмеримых с длиной волны, дифрагируемые

когерентные волны, складываясь, образуют устойчивую дифракционную

картину.

Метод зон Френеля.

Фронт волны

Фронт волны разбивается на зоны таким образов, что разность хода волн, идущих от границ соседних зон Френеля, равна половине длины волны.

Волны, пришедшие от соседней зоны придут в точку Р в противофазе, следовательно

погасят друг друга. Все зоны попарно гасят друг друга.

Если из открытого фронта волны выделить четное число зон Френеля, то в точке Р будет

наблюдаться дифракционный min, а если нечетное, то дифракционный max.

Дифракция Фраунгофера или дифракция в параллельных лучах.

.

BD=

Условие усиления - дифракционный max от щели:

m=0,1,2,3…В центре будет max.

Условие ослабления - дифракционный min от щели:

m=1,2,3…

Дифракция Френеля или дифракция в сходящихся лучах. В этом случае в центре экрана будет изображение щели.

Критерий

Условия max и min существуют в дифференциальной решетке, создавая дополнительные

max и min.

Вопрос №34 Дифракция Фраунгофера на щели и дифракционной решетке. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Брэгга.

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Рассматривая дифракцию Фраунгофера на щели, мы видели, что распределение интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Это означает, что перемещение щели параллельно самой себе влево или вправо не изменит дифракционной картины. Следовательно, если перейти от одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Тип дифракции, при котором дифракционная картина образуется параллельными пучками, называется дифракцией Фраунгофера. Параллельные лучи проявятся, если источник и экран находятся в бесконечности. Практически используется две линзы: в фокусе одной – источник света, а в фокусе другой – экран.

Пусть в непрерывном экране есть щель: ширина щели  , длина щели (перпендикулярно плоскости листа)  (рис. 9.5). На щель падают параллельные лучи света. Для облегчения расчета считаем, что в плоскости щели АВ амплитуды и фазы падающих волн одинаковы.

Разобьем щель на зоны Френеля так, чтобы оптическая разность хода между лучами, идущими от соседних зон, была равна   .

Если на ширине щели укладывается четное число таких зон, то в точке   (побочный фокус линзы)  будет наблюдаться минимум интенсивности, а если нечетное число зон, то максимум интенсивности:

Картина будет симметричной относительно главного фокуса точки. Знак плюс и минус соответствует углам, отсчитанным в ту или иную сторону.

Интенсивность света   . Как видно из рис. 9.5, центральный максимум по интенсивности превосходит все остальные.

Рассмотрим влияние ширины щели.

Т.к. условие минимума имеет вид  , отсюда .

Из этой формулы видно, что с увеличением ширины щели b положения минимумов сдвигаются к центру, центральный максимум становится резче.

При уменьшении ширины щели b вся картина расширяется, расплывается, центральная полоска тоже расширяется, захватывая все большую часть экрана, а интенсивность ее уменьшается.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Обозначим: b – ширина щели решетки; а – расстояние между щелями;   – постоянная дифракционной решетки.

Линза собирает все лучи, падающие на нее под одним углом и не вносит никакой дополнительной разности хода.

Пусть луч 1 падает на линзу под углом  φ (угол дифракции). Световая волна, идущая под этим углом от щели, создает в точке   максимум интенсивности. Второй луч, идущий от соседней щели под этим же углом φ, придет в ту же точку   . Оба эти луча придут в фазе и будут усиливать друг друга, если оптическая разность хода будет равна mλ: .

Условие максимума для дифракционной решетки будет иметь вид: .

Максимумы, соответствующие этому условию, называются главными максимумами. Значение величины m, соответствующее тому или иному максимуму называется порядком дифракционного максимума.

В точке F₀ всегда будет наблюдаться нулевой или центральный дифракционный максимум.

При условии , волны, посылаемые каждой щелью, будут гаситься – появятся дополнительные минимумы.

Угол дифракции пропорционален длине волны λ. Значит, дифракционная решетка разлагает белый свет на составляющие, причем отклоняет свет с большей длиной волны (красный) на больший угол (в отличие от призмы, где все происходит наоборот).

Пространственной, или трехмерной, дифракционной решеткой называется такая оптически неоднородная среда, в которой неоднородности периодически повторяются при изменении всех трех пространственных координат.

Простейшую двумерную решетку можно получить, сложив две одномерные решетки так, чтобы их щели были взаимно перпендикулярны. Главные максимумы двумерной решетки должны одновременно удовлетворять условию максимума для каждой из решеток.

Дифракция наблюдается также и на трехмерных структурах. Всякий монокристалл состоит из упорядоченно расположенных атомов (ионов), образующих пространственную трехмерную решетку (естественная пространственная решетка).

В 1913 г. русский физик Г.В. Вульф и английские ученые отец и сын Генри и Лоуренс Брэгги, независимо друг от друга, предложили простой метод расчета дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Они полагали, что дифракцию рентгеновских лучей можно рассматривать как результат отражения рентгеновских лучей от плоскостей кристалла. Это отражение, в отличие от обычного, происходит лишь при таких условиях падения лучей на кристалл, которые соответствуют максимуму интерференции для лучей, отраженных от разных плоскостей.

 Абсолютный показатель преломления всех веществ для рентгеновских лучей равен 1. Поэтому оптическая разность хода между лучами    и 

Интерференционные максимумы должны удовлетворять условию Вульфа–Брэггов: .

Вопрос №35 Понятие о голографии.

1. Обычный фотографический метод получения изображений объектов основан на регистрации с помощью фотопластинки различий в интенсивности света, рассеиваемого разными малыми элементами поверхности объекта. Для этого при фотосъемке действительное изображение объекта в фотоаппарате проецируется на светочувствительную поверхность фотопластинки. Полученный негатив и отпечатанная с него позитивная фотография объекта – лишь приближенные, двумерные образы трехмерного объекта. Об объемности объекта можно судить только по светотеням, имеющимся на его фотографическом изображении. Более совершенным является стереоскопический фотоснимок. Однако и в этом случае не удается такого же полного ощущения объемности, как при непосредственном наблюдении самого объекта. Дело в том, что, разглядывая стереоскопический фотоснимок с помощью стереоскопа, мы не можем, например, изменить положение точки наблюдения и увидеть то, что было закрыто во время съемки предметом, находящимся на переднем плане, - не можем «заглянуть за этот предмет»

Английский физик Д. Габор ( 1948) высказал идею принципиально нового метода получения объемных изображений объектов. Он предложил регистрировать с помощью фотопластинки не только амплитуды, но и фазы рассеянных объектом волн, воспользовавшись для этого явлением интерференции волн. Таким способом можно получить и зарегистрировать на фотопластинке значительно более полную информацию об объекте, нежели путем обычного фотографирования. Свой метод Габор назвал голографией.

2. Суть этого метода пояснена на рис. 32.14. С помощью фотопластинки Ф (рис. 32.14а) регистрируется интерференционная картина, возникающая при наложении волны 1, рассеянной объектом А и называемой сигнальной волной, или предметным пучком, и когерентной ей волны 2, имеющей фиксированные значения амплитуды и фазы. Волна 2, называемая опорной волной или опорным пучком, испускается тем же источником света, который освещает объект, и после отражения от зеркала В падает непосредственно на фотопластинку Ф. Интерференционную картину, зафиксированную на фотопластинке после ее проявления, называют голограммой объекта. Голограмма, в отличие от фотографического негатива объекта, не имеет внешнего сходства с объектом. Она представляет собой очень мелкий и замысловатый узор из чередующихся малых областей различного почернения эмульсии.

Получение голограммы связано с осуществлением интерференции света при больших разностях хода, т.е. требует весьма высокой степени когерентности света. Практическое осуществление идеи Габора стало возможным лишь в начале 60-х годов ХХ века после создания лазеров. Они являются незаменимыми источниками света в голографии.

3. Восстановление изображения объекта по его голограмме показано на рис. 32.14б. Голограмму С просвечивают как диапозитив той же опорной волной 2, которая использовалась при получении голограммы, причем ориентация голограммы по отношению к опорной волне также должна быть сохранена. Эта световая волна дифрагирует на голограмме. В результате дифракции наблюдаются два объемных изображения объекта: мнимое и действительное. Мнимое изображение A` находится в том же месте по отношению к голограмме, где помещался объект А при съемке голограммы. Это изображение видно при наблюдении сквозь голограмму как через окно. Действительно изображение A`` расположено по другую сторону голограммы. Оно как бы висит в воздухе перед голограммой и является зеркальным изображением объекта, что представляет определенные неудобства.

Обычно пользуются мнимым голографическим изображением, которое по зрительному восприятию тождественно самому объекту. Оно является объемным, а его перспектива изменяется в зависимости от положения глаз наблюдателя по отношению к голограмме. Например, перемещая голову вдоль голограммы, наблюдатель может «заглянуть за предмет», находящийся на переднем плане голографического изображения. Точно такой же эффект получается при изменении положения точки визуального наблюдения непосредственно самого объекта.

4. Интерференционная картина в каждой точке голограммы определяется светом, рассеянным всеми точками объекта. Следовательно, если голограмма случайно разбилась, то с помощью даже малого сохранившегося ее осколка можно восстановить изображение всего объекта. Разница состоит лишь в том, что чем меньше размеры оставшейся части голограммы, тем меньше ее разрешающая способность и тем меньше света на ней дифрагирует на стадии восстановления изображения, соответственно тем менее четким и ярким будет восстановленное с ее помощью изображение. Между тем, каждый элемент поверхности обычного фотонегатива содержит информацию только о той части объекта, изображением которой является. Частичное повреждение фотонегатива сопровождается потерей некоторой части информации об изображенном на нем объекте. Т.о. с точки зрения надежности хранения записанной информации голограмма значительно превосходит обычный фотонегатив. Наконец, на одну и ту же фотопластинку можно последовательно записать несколько различных голограмм. Изменяя каждый раз, например, угол падения опорной волны.

5. Можно получить цветное голографическое изображение объекта. Для этого при изготовления голограммы пользуются монохроматическим светом трех основных цветов, испускаемых тремя разными лазерами. На стадии восстановления изображения на голограмму нужно одновременно направить три опорных пучка света от тех же трех лазеров.

Ю.Н. Денисюк впервые получил (1962) объемные голограммы, используя для этого толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы ведут себя подобно пространственным дифракционным решеткам. Они способны выделять из белого света свет той длины волны или тех нескольких длин волн, который был использован при получении голограммы. Для восстановления изображения, записанного в виде объемной голограммы, последнюю достаточно осветить белым светом. Если при изготовлении объемной голограммы был использован свет трех основных цветов, то при освещении этой голограммы белым светом наблюдается цветное изображение объекта.

Применение голографии открывает принципиальную возможность создания систем стереоскопического цветного голографического кино и телевидения. Очень перспективно использование голографических методов для создания новых, весьма надежных и очень емких систем памяти вычислительных машин, систем поиска заданной информации и распознавания образов, а также для кодирования информации.

Вопрос №36.

Естественный и поляризованный свет