Круговая плоскость

Формулировка теоремы (4), к сожалению, не является вполне корректной. Неприятность возникает при попытке применить ее к двум равным окружностям. Действительно, для двух непересекающихся или касающихся окружностей, не лежащих одна внутри другой, центром серединной окружности служит внешний центр гомотетии. Но для двух равных окружностей внешний центр гомотетии не существует. Получается, что к формулировке теоремы надо добавить еще несколько строк, описывающих этот частный случай. Однако, лучше поступить совсем другим образом.

Попробуем рассмотреть две «почти равные» окружности. Внешний центр гомотетии лежит где-то «очень далеко», а радиус серединной окружности весьма велик по сравнению с исходными окружностями. Если радиусы исходных окружностей будут отличаться все меньше и меньше, то радиус серединной окружности будет становиться все больше и больше, а сама серединная окружность будет «выпрямляться», становясь все больше похожей на прямую. Эта предельная прямая является, конечно же, осью симметрии двух равных окружностей.

То есть, напрашивается примерно такая формулировка: серединной окружностью двух равных окружностей является их ось симметрии. Звучит достаточно абсурдно: «окружностью является прямая». Но, с другой стороны, образом окружности при инверсии может служить и прямая, и окружность. И значит, окружности и прямые «с точки зрения инверсии» вполне взаимозаменяемы.

Таким образом, надо не исправлять формулировку теоремы, а расширить определение окружности, так чтобы оно включало в себя прямую, как частный случай. Что-то вроде: «прямая – это окружность бесконечного радиуса». Но, для того чтобы это определение было логически корректным, придется вместо евклидовой плоскости рассмотреть другую конструкцию, получившую название «круговая плоскость».

Для этого присоединим к плоскости одну «бесконечно удаленную точку». Пока что проделаем это, как абсолютно формальную процедуру. Просто договоримся, что теперь кроме обычных точек на плоскости есть еще одна невидимая «бесконечно удаленная точка», обладающая лишь одним свойством: бесконечно удаленная точка при любой инверсии является образом центра инверсии.

Будем теперь считать, что прямая – это окружность, проходящая через бесконечно удаленную точку. В дальнейшем будем употреблять слово «окружность» вместо слов «окружность или прямая», считая прямую частным случаем окружности. Теорема (1) становится при этом частным случаем теоремы (2). Окружность, проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через бесконечно удаленную точку. Вместо теорем (1) и (2) получаем теорему (1 – 2).

Теорема 1 – 2

Окружность при инверсии переходит в окружность.

Ясно, также, что «инверсией относительно прямой» можно считать осевую симметрию. В дальнейшем это будет строго доказано.

На круговой плоскости инверсия является взаимно однозначным преобразованием. Каждая точка, без исключения, имеет образ, и каждая точка служит образом некоторой точки.

Любые две окружности могут быть отнесены к одному из трех типов: пересекающиеся, непересекающиеся, касающиеся. При этом параллельные прямые – это окружности, касающиеся в бесконечно удаленной точке. Поскольку инверсия является взаимно однозначным преобразованием, то пара окружностей при инверсии переходит в пару окружностей того же типа.

Задача 5

Докажите, что через две данные точки можно провести не более двух окружностей, касающихся данной окружности.