1.6. Вариационные задачи на условный экстремум

Во многих случаях возникает задача отыскания экстремума функционала, зависящего от нескольких функций, которые между собой связаны некоторыми дополнительными условиями. Такие задачи называются вариационными задачами на условный экстремум.

Задача ставится следующим образом. Задан функционал вида:

при наличии между функциями дополнительных связей. Эти связи могут выражаться:

1) конечными равенствами

; (1.47)

2) дифференциальными уравнениями

; (1.48)

3) интегральными уравнениями вида

(1.49).

Наиболее удобным методом решения подобных задач является метод неопределённых множителей Лагранжа.

1.6.1. Вариационные задачи на условный экстремум, когда связи представлены конечными равенствами

Рассмотрим суть метода для первого случая, когда связи представлены конечными равенствами (1.47).

Для того чтобы найти экстремум функционала:

при условии . (1.50)

Вводят промежуточную функцию:

,

и составляют вспомогательный функционал:

, (1.51)

где λ(x) – пока неизвестная функция от x.

Теперь нам необходимо определить три неизвестные функции y(x), z(x) и λ(x). Для их определения имеем три уравнения: два уравнения Эйлера для функционала (1.51):

(1.52)

и уравнение связи (1.50).

Для общего случая промежуточная функция имеет вид:

(1.53)

1.6.2. Вариационные задачи на условный экстремум, когда условия представлены дифференциальными уравнениями

Рассмотрим суть метода для второго случая, когда условия представлены дифференциальными уравнениями (1.48).

Здесь аналогично, как для первого случая составляется вспомогательный функционал:

,

где j = 1,2,…,m; λ_j(x)– некоторая функция, подлежащая определению;  дополнительные связи, которые, в отличие от конечных разностей, представлены дифференциальными уравнениями (1.44).

Задачу с дифференциальными связями называют общей задачей Лагранжа.

Этот функционал, зависящий от n функций y(x) и m функций λ_j(x), исследуется уже на безусловный экстремум, так как благодаря введению неизвестных функций λ_j все функции y_i могут варьироваться независимо. В результате получаем систему Эйлера-Лагранжа:

, (1.54)

дополненную дифференциальными уравнениями связи

. (1.55)

Число уравнений (1.54) и (1.55) равно n+m и совпадает с числом неизвестных функций y₁, y₂, … , y_n; λ₁, λ₂, … , λ_m.

Общее решение системы (1.54) и (1.55) содержит 2n произвольных постоянных, для определения которых используются граничные условия.

1.6.3. Вариационные задачи на условный экстремум со связями в виде интегральных уравнений

Рассмотрим суть метода для третьего случая со связями в виде интегральных уравнений (1.49).

Задачи на условный экстремум, в которых связи представлены в виде интегральных уравнений (1.49), называют изопериметрическими по названию одной из них: среди всех кривых равной длинны (одинакового периметра) найти кривую, ограничивающую наибольшую площадь.

Изопериметрическую задачу можно свести к общей задаче Лагранжа.

Введём обозначения:

.

Продифференцируем это выражение:

.

В результате приходим к следующей задаче Лагранжа: найти функции y(x) и ψ(x), доставляющие экстремум функционалу

(1.56)

при условии, что другой функционал

(1.57)

сохраняет заданное значение .

Согласно общему правилу решения задачи Лагранжа, надо составить уравнение Эйлера для вспомогательной функции

.

Уравнение Эйлера примет вид:

или . (1.58)

Так как , то

. (1.59)

Это означает, что для изопериметрической задачи множитель Лагранжа обращается в постоянную величину.

Изложенное правило для одного условия (1.57) легко обобщается для любого числа условий типа (1.58): если кривая y(x) доставляет экстремум интегралу (1.56) при наличии n условий

,

то y(x) удовлетворяет уравнению Эйлера

, (1.60)

где , (1.61)

здесь λ_i  постоянные числа.

Вариационные задачи на условный экстремум, изложенные в пункте 1.6, решаются с помощью системы уравнений Эйлера-Лагранжа (1.52), (1.50) или (1.52), (1.53) для связей с конечными равенствами; (1.54), (1.55) для связей в виде дифференциальных уравнений; и (1.58), (1.59) или (1.60), (1.61) для связей, представленных интегральными уравнениями.