- •Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
- •Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
- •Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
- •Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
- •Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
- •Дайте определения односторонних пределов функции.
- •Перечислите основные правила вычисления пределов функций.
- •Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.
- •Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?
- •Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.
- •Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.
- •Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.
- •Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .
- •Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.
- •Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.
- •Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
- •Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
- •Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
- •Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .
- •Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.
- •Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
- •Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
- •В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
- •Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
- •Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
- •Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
- •Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
- •Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
- •Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.
- •Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?
- •Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.
- •Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.
- •Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.
- •Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.
- •Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.
- •Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
- •Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
- •Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
Пусть ф-я f(x) диф-ема на некот интервале. Тогда, диф-уя ее, получаем первую производную
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).
,т.е. y = (y) или .
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n. .
Пример 1. y = sin 2x –4 sin2x итд
Пример 2: (x1/2) ' = ½ x - 1/2 (x1/2) (2) = -(1/2)2 *x – 3/2 (x1/2) (3) = (1/2)3 * 3x – 5/2 (x1/2) (4) = -(1/2)4 *3 *5*x -7/2 (x1/2) (n) = -(-1/2)n *3*5*7*...*(2n - 3)* x –(2n-1) / 2
Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций:
а) Если функция непрерывна, то она дифференцируема?
б) Если функция дифференцируема, то она непрерывна?
Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.
Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости ф-и следует ее непрерывность.
Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необ-мо док-ть озвученый факт или привести пример, кот опровергает этот факт.
Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, что данная функция является непрерывной и что ее производная будет следующей:
Покажем, что в точке нуль производная не существует. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:
Данный предел равен 1, если ∆х→0+ и равен (–1), если ∆х→0–, получается что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.
Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
Дифференциалом функции называется величина
dy= f ′ (х)dх
Рассмотрим подробнее формулу ∆ydy или f ′ (х0+∆х) – f(х) f ′ (х) ∆х; т.е.
f ′ (х0+∆х) f ′ (х0) ∆х + f ′(х0) – расчётная формула Эйлера;
Найдём
Полагаем y = f(x) = ; х0 = 1, ∆х = 0,01 и y = f ′ (х) = , согласно расчётной формуле:
+ * 0,01 0,01
2 способ Дифференциалом функции в точке х0 называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.
df(х0)= f ′ (х0) ∆х; ∆х=dх; df(х0)= f ′ (х0)dх
Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
Теорема Коши:
Пусть ф-ции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и , тогда существует точка такая, что .
Домножим левую часть уравнения на
Получили т-му Лагранжа. Теорема Лагранжа – это частный случай т. Коши, когда .
Теорема Лагранжа:
Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что .
Следствие 1: Если производная y=f(x) равна 0 на X, то для всех x Х выполняется f=const.
Следствие 2: Правило Лопиталя 0:
Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции f (х) =1 - 4 на отрезке :
y=1-(x4)1/5 ; f(-2) = 1-(-24)1/5 = f(2)
В итоге: f ’(c)=0
Найдём f ’(x)=(1-(x4)1/5)’ = -4/5 *x-1/5=-4 / 5*x1/5 0
Следовательно теорема Лагранжа не выполняется.