Управленческие решения

57. Постановка задачи нахождения оптимального управленческого решения как задачи математического программирования.

Задача принятия УР формулируется как математическая оптимизационная задача нахождения совокупности значений показателей X =(Х1, Хi…Xn). при котором некоторая функция F(X). определяющая качество УР. принимает наилучшее значение.

В зависимости от вида функции рассматриваемая задача может быть задачей лин. нtлин. дискретного, целочисленного, двоичного программирования. Существует большое количество разл. программных продуктов, позволяющих решить рассм-ю задачу в разных се постановках. Но не сущ-ст некоего универсального метода постановки задачи, т е перехода от ее вербального описания к представлению в виде функции. Вместе с тем . более адекватная постановка задачи требует и большого объема исх. информации, но не гарантирует более точного или достоверного решения.

При постановке задачи принятия УР следует ориентироваться на некоторые типовые модели, т к применительно к ним разработаны методы . алгоритмы и программные продукты, позволяющие получить решение в приемлемые сроки.

В практике принятия УР дост. широко распр. Такие типовые задачи как упаковки (компоновки).

размещения(назначения). покрытия, транспортная....Рассмотрим в качестве примера постановку задачи принятия УР как задачи об оптимальном покрытии, к кот. сводится большое число самых разнообразных реальных задач.

Пусть для выполнения некоторой сов-ти работ S=(s1,s2 sj....sm) на предприятии требуется сформировать бригаду В работников. Каждая работа sj может быть выполнена некоторым работником ri. при этом вознаграждение i-того работника составляет вел-ну Ci. Учитывая, что не каждый работник может выполнить всю совокупность работ, а некот работы могут выполнить разные работники, можно сформировать дост. большое кол- во бригад. Требуется сформировать бригаду В. кот сумеет выполнить всю сов-ть работ S при минимальных суммарных расходах на ее выполнение. Назовем такую бригаду оптимальной.

Для формализации задачи введем переменную aij. кот равна нулю в случае, когда, i-тый исполнитель не может выполнить j-тую работу, и равна единице в противном случае. Введем неизвестную переменную xij. кот принимает единичное значение при включении работника rl в бригаду В. и нулевое - в противном случае. Тогда рассм задача формализуется в виде след задачи двоичного мат. Программирования: найти В: ∑c_ix_i= min при условии ∑(a_ijx_i)>l, для любогоj.

58. Принцип оптимальности в. Парето и его роль в принятии оптимальных управленческих решений.

Механизм векторно-оптимизационного выбора

Часто для выбора необходимо учитывать совокупность свойств вариантов.

В этом случае структура σ задается в виде n>1 отображений φ_i(a) множества А, то есть в виде вектор-функции φ(a)=(φ₁(a),….., φ_n(a)). Правило π в данном случае имеет смысл векторной оптимизации функции φ(a), понимаемой как выделение из А множества всех оптимальных по Парето вариантов по векторному критерию φ. Результат такого выбора определяется свойствами отношения Парето. Оптимальные по Парето варианты часто называют паретовскими или парето-оптимальными. Реализуемый в таких условиях механизм называют векторно-опимизационным.

Отношение Парето

Пусть xj, yj — значеия j-го показателя вариантов x и y соответственно. Отношением Парето (Р) называют отношение [xPy]<=>{(для всех j=1, m) [xj>=yj] и (существует j0 принадлежащее {1,... , m)[xj>yj]}.

Таким образом, объект х находится с объектом у в отношении Парето, если для всех пар показателей существует отношение частичного порядка и хотя бы для одной — строгого.

Отношение Парето относится к типу бинарных отношений, получивших название координатные отношения, для сравнения по которым достаточно иметь информацию об отношениях знаков разностей одноименных показателей, или координат критериального пространства, с чем связано название отношения.

Важным свойством отношения лексикографии является рациональность. Оно, в частности, означает, что из отношения чРу следует превосходство варианта х над вариантом н хотя бы по одному показателю. Это свойство обуславливает широкое применение отношения Парето при принятии рациональных решений.

Управленеское решение — это всегда выбор. Суть процесса выбора состоит из выделения из множества альтернатив А некоторой его части С(А). Этот выбор осуществляет ЛПР.

Принцип оптимальности Парето

Данный принцип определяется отношением Парето. Парето-оптимальной альтернативой (выбором) является альтернатива, которая по всем оценкам не хуже остальных, но хотя бы по одной строго лучше других.

a_к Ра_l ↔ φ_i(a_k) ≥ φ_i(a_l), для любого i и существует φ_s: φ₁(a_k) > φ₁(a_l)

a_к – лучше в Парето отношении (в смысле Парето-оптимальности)

Трудность: Парето–оптимальных решений может быть несколько.

Пример

1	6,4	9.6	9.8	5.2
2	6,5	9.4	9.6	5.3
3	7	8.7	9.3	5.4
4	7,1	9.6	9.9	5.3
5	7	9.5	9.9	3.7
6	6,7	8.9	9.9	5.8
7	7	9.5	9.5	5.6
8	6,9	9.1	9.4	5.4

Решения 4, 6,7