- •Глава 4. Повторные независимые испытания
- •§ 4.1. Формула Бернулли
- •§ 4.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •§ 4.3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •§ 4.4. Теоремы Пуассона3
- •Раздел 2 случайные величины
- •Глава 5. Дискретная случайная величина
- •§ 5.1. Функция распределения дискретной случайной величины
- •§ 5.2. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
- •§ 5.3. Основные законы распределения случайных величин
- •§ 5.3.1. Биномиальный закон распределения
- •§ 5.3.2. Закон распределения Пуассона
- •Глава 6. Непрерывная случайная величина
- •§ 6.1. Функция распределения непрерывной случайной величины
- •§ 6.2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины
- •§ 6.3. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •§ 6.4. Основные законы распределения непрерывных случайных величин
- •§ 6.4.1. Равномерный закон распределения
- •Глава 7. Нормальный закон распределения
- •§ 7.1. Свойства функции плотности вероятности (кривой Гаусса) нормального закона распределения
- •§ 7.2. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины
- •§ 7.3. Функция распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону
- •§ 7.4. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения
- •Глава 8. Предельные теоремы теории вероятности
- •§ 8.1. Закон больших чисел. Основные теоремы
- •1. Лемма Маркова
- •2. Неравенство Чебышева
- •§ 8.2. Центральная предельная теорема
§ 4.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
При большом числе испытаний вероятности наступления события А в каждом испытании р, отличной от 0 и 1, и при выполнении условия , вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется соответствии с локальной теоремой Муавра — Лапласа:
(1.25)
где n — число испытаний Бернулли;
m — число испытаний, в которых наступило событие А;
р=Р(А) — вероятность наступления события А в каждом испытании;
q=1-р — вероятность противоположного события ( );
— функция Гаусса (табл. 7 Приложений).
Функция Гаусса представляет собой плотность стандартного нормального закона распределения и будет рассмотрена более подробно в гл. 7 «Нормальный закон распределения». Здесь отметим только ее основные свойства, необходимые для применения рассматриваемой теоремы.
Функций гаусса:
1. – четная функция, т. е.
2. – монотонно убывающая функция, т. е. при при можно считать
§ 4.3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
При большом числе испытаний вероятности наступления события А в каждом испытании р, отличной от 0 и 1, и при выполнении условия , вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит от а до b раз, определяется соответствии с интегральной теоремой Муавра — Лапласа:
(1.26)
где n – число испытаний Бернулли;
m – число испытаний, в которых наступило событие А;
р=Р(А) – вероятность наступления события А в каждом испытании;
q=1-р – вероятность противоположного события ( );
– функция Лапласа (табл. 1 Приложений).
Функция Лапласа Ф(t) представляет собой функцию стандартного нормального закона распределения и будет рассмотрена более подробно теме «Нормальный закон распределения» (гл. 7).
Здесь отметим только ее основные свойства, необходимые для применения рассматриваемой теоремы.
Функция Лапласа:
Ф(t) — нечетная функция, т. е. Ф(-t)=-Ф(t)/
Ф(t) — монотонно возрастающая функция, т. е. Ф(t)→1 при t→+ ; при t>5 можно считать Ф(t) 1.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р:
а) вероятность того, что частота наступления (частость) события А отклонится от вероятности p (по модулю) не более, чем на величину :
; (1.27)
б) наименьшее число испытаний, которое нужно провести, чтобы с вероятностью, равной р, можно было гарантировать, что частота наступления события А отклонится от вероятности/? не более, чем на :
; (1.28)
в) при данной вероятности и числе испытаний n границы возможных изменений отклонения частоты наступления события А от вероятности р:
; (1.29)
г) вероятность того, что m наступлений события А отличается от произведения nр (по модулю) не более, чем на величину :
(1.30)
и ли в других обозначениях: .
Пример 4.2. Вероятность своевременного выполнения заказа цехами службы быта равна 0,75. Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят:
а) 120;
б) не менее 110.
Решение.
Проводится 160 независимых испытаний, состоящих в проверке выполнения заказа цехами службы быта. Для каждого из 160 заказов вероятность события А - заказ выполнен - по условию постоянна:
В задаче число испытаний n=160, р=0,75, npq=160*0,75*0,25=30 20.
А. Требуется определить вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят 120, т. е. вероятность
Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n велико, р отлична от 0 и 1, npq 20, то эту вероятность можно определить в соответствии с локальной теоремой Муавра – Лапласа (1.25):
, где .
Получим , откуда, по табл. 7 плотности вероятности нормированного нормального закона распределения, находим f(0)=0,3989.
В результате искомая вероятность того, что из 160 заказов своевременно будет выполнено ровно 120:
Б. Требуется определить вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят не менее 110, т. е. вероятность .
Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, n велико, р отлична от 0 и 1, npq 20, то эту вероятность можно определить в соответствии с интегральной теоремой Муавра – Лапласа (1.26):
где
Получим
откуда по табл. 1 Приложений значений функции Лапласа нормированного нормального закона распределения, находим:
Ф(-1,83)=-Ф(1,83)=-0,9327, Ф(7,3)=1.
В результате искомая вероятность того, что не менее 110 из 160 заказов будут выполнены своевременно равна:
Пример 4.3. При обработке линз в среднем 3 из 100 имеют брак. Сколько линз следует обработать, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что отклонение доли брака от его вероятности не превысит 0,01 (по абсолютной величине)?
Решение.
Проводятся независимые испытания, состоящие в проверке брака обработки линз. Для каждой линзы вероятность события А – линза обработана с браком – по условию постоянна и равна:
В задаче надежность =0,95, отклонение =0,01.
Требуется определить число линз п, которые необходимо обработать. Так как испытания удовлетворяют условиям схемы Бернулли, то количество линз можно определить в соответствии со вторым следствием интегральной теоремы Муавра –Лапласа (1.28):
По табл. 1 Приложений значений функции нормированного нормального закона распределения, находим откуда
С ледовательно, нужно обработать n=1118 линз, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение доли появления бракованной линзы от вероятности быть бракованной (равной 0,03) не превысит 0,01 (по абсолютной величине).