- •Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
- •I.1 Цели преподавания дисциплины
- •I.2 Задачи изучения дисциплины
- •I.3 Перечень дисциплин с указанием разделов (тем), знание которых необходимо для изучения теории вероятностей и математической статистики
- •Рабочая программа курса
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольные вопросы
- •Методические указания
- •Использование определения интеграла Римана-Стилтьеса от непрерывной функции по вероятностной функции p позволяет в единой форме и независимо от типа случайной величины , определять:
- •Экзаменационные вопросы
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Вариант № образец
- •Индивидуальные задания по математической статистике
- •Глоссарий
- •Вопросы для тестирования по курсу
Глоссарий
А
Аддитивная функция – функция множеств- элементов алгебры A, для которой из условия ш следует, что .
Алгебра множеств – система подмножеств A множества , элементы которой удовлетворяют следующим требованиям:
а) A; б) для любых A и B, принадлежащих A, следует, что A и A; в) если A, то A.
Б
Борелевская алгебра множеств B( ) – система подмножеств множества действительных чисел R, получающаяся путём применения операций объединения, пересечения и дополнения к элементам системы , где a и b – произвольные действительные числа.
В
Вероятностное пространство <,A, P> - тройка объектов, где
- множество элементарных исходов;
A - -алгебра случайных событий;
P – вероятностная функция.
Д
Дискретная случайная величина – случайная величина, областью возможных значений которой является не более чем счётное множество D действительных чисел . Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины задаётся путём определения набора положительных чисел , таких, что . Здесь: .
Дисперсия случайной величины - мера разброса значений случайной величины около её математического ожидания.
Доверительный интервал - интервал, в котором с вероятностью, не меньшей чем , находится значение неизвестной числовой характеристики , то есть интервал, для которого справедливо: .
З
Закон больших чисел (ЗБЧ) – совокупность теорем, в которых на последовательность случайных величин , налагаются условия, при которых их среднее арифметическое сходится по вероятности к постоянной величине – среднему арифметическому их математических ожиданий: .
И
Измеримое пространство <,A> - пара объектов, где - множество элементарных исходов, A - алгебра случайных событий, на которой вводится числовая функция множеств , которая при выполнении условий нормированности и аддитивности, называется вероятностной мерой множества A.
К
Классическое определение вероятности – определение вероятности наступления случайного события, основанное на равновозможности реализации элементарных исходов конечного множества элементарных исходов . Если мощность множества равна , а мощность подмножества A, являющегося случайным событием, равна , то по классическому определению вероятности вероятность наступления случайного события A будет равна .
Ковариационный момент – смешанный центральный момент второго порядка двумерной случайной величины:
.
Компонента случайного вектора – скалярная случайная величина , являющаяся проекцией случайного вектора на k-тую координатную ось . То есть, если и - проектор, отображающий в , то является композицией отображений:
.
Коэффициент линейной корреляции – мера статистической силы связи между случайными величинами. Вычисляется по формуле . Применяется в тех случаях, когда статистическая связь имеет линейный характер.
Критерий проверки основной гипотезы – случайная величина, статистика элементов выборки, закон распределения вероятностей которой зависит от предполагаемой гипотезы.
М
Математическое ожидание – числовая характеристика случайной величины, . Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины . Интерпретируется как координата центра тяжести единичной массы распределённой на числовой оси.
Множество элементарных исходов – множество, элементами, которого является все возможные элементарные исходы. В результате проведения испытания всегда реализуется один, и только один элементарный исход.
Н
Начальный момент k-того порядка – числовая характеристика случайной величины, являющаяся значением абсолютно сходящегося несобственного интеграла от функции по функции распределения случайной величины, то есть: .
Независимость случайных величин. Случайные величины и называются независимыми, если закон распределения вероятностей одной из них не зависит от другой случайной величины.
Точнее: пусть случайные величины и являются компонентами двумерной случайной величины , принимающей значения в . Эти компоненты называются независимыми, если для любого множества B, B( 2), представимого как декартово произведение , и , будет справедливо:
,
Где и - частные вероятностные функции компонент.
Независимость случайных величин непрерывного типа – Случайные величины непрерывного типа и (компоненты двумерного случайного вектора) будут независимыми тогда, только тогда, когда для любой пары выполняется равенство , где - плотность вероятности двумерного случайного вектора , а и - плотности вероятностей его компонент и .
Независимость случайных величин дискретного типа – Случайные величины дискретного типа и (компоненты двумерного случайного вектора) будут независимыми тогда, только тогда, когда для любой пары выполняется равенство , где , а и .
Независимость случайных событий. Случайные события называются независимыми, если условная вероятность наступления любого из них равна его безусловной вероятности: или .
Непрерывная случайная величина – случайная величина, областью возможных значений которой является множество D мощности континуум и положительной меры Лебега. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины задаётся путём определения на этом множестве плотности вероятности - кусочно-непрерывной, неотрицательной функции, такой что .
Несмещённость точечной оценки. Точечная оценка числовой характеристики называется несмещённой, если .
О
Остаточная дисперсия – мера разброса значений одной из компонент (например ) двумерной случайной величины около её математического ожидания, вызванного внутренними свойствами этой компоненты. При линейном виде статистической связи между компонентами величина остаточной дисперсии компоненты равна , где - коэффициент линейной корреляции между компонентами и .
Ошибка I рода – отклонение верной гипотезы . Возникает в том случае, когда при справедливости в реальности гипотезы наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область . Вероятность ошибки I рода равна .
Ошибка II рода – принятие неверной гипотезы . Возникает в том случае, когда при справедливости в реальности гипотезы наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений . Вероятность ошибки II рода равна .
П
Повторные независимые испытания – серия одинаковых испытаний, в каждом из которых с постоянными вероятностями p и q может произойти только одно из взаимно противоположных событий A или .
Плотность вероятности – неотрицательная, кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая условию: . Плотность вероятности описывает распределение вероятностей случайной величины непрерывного типа.
Р
Распределение - (распределение Пирсона) распределение вероятностей случайной величины , где все независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение вероятностей N(0;1).
Распределение Стьюдента – (t-распределение) распределение вероятностей случайной величины , где все независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение вероятностей N(0;1).
Распределение Фишера-Снедекора – (F-распределение) распределение вероятностей случайной величины .
Ряд распределения – таблица, состоящая из двух строк, с помощью которой задаётся закон распределения дискретной случайной величины:
.
Где или ; . Всегда .
С
Свёртка функций распределения – несобственный интеграл, определяющий функцию распределения случайной величины, являющейся суммой независимых случайных величин. Если , то функция распределения будет равна: , где и - функции распределения случайных величин-слагаемых.
Состоятельность точечной оценки. Точечная оценка числовой характеристики называется состоятельной, если она сходится по вероятности к этой точечной оценке, то есть: .
Статистика – любая функция элементов выборки : .
Сходимость по вероятности. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине (обозначение: ), если выполняется условие .
Сходимость по распределению. Последовательность случайных величин сходится по распределению к случайной величине (обозначение: ), если соответствующая последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения случайной величины ( ).
У
Условная вероятность - вероятность наступления случайного события A, вычисленная при предположении, что случайное событие B произошло. Определяется по формуле: .
Условная плотность вероятности - плотность вероятности условной случайной величины , является законом распределения вероятностей второй компоненты при любом фиксированном значении первой компоненты. Определяется по формуле: , где - плотность вероятности двумерной случайной величины , - частная плотность вероятности первой компоненты .
Ф
Функция распределения – функция , описывающая изменение вероятности случайного события при изменении x, то есть . Определяя функцию распределения , мы задаём закон распределения вероятностей случайной величины .
Функция распределения вектора - функция , описывающая изменение вероятности случайного события , где , при изменении , то есть . Определяя функцию распределения , мы задаём закон распределения вероятностей случайного вектора .
Функция регрессии – функция, описывающая зависимость значений условных математических ожиданий одной из компонент двумерной случайной величины от другой компоненты. Функция - функция регрессии компоненты на изменение компоненты . Функция - функция регрессии компоненты на изменение компоненты .
Х
Характеристическая функция – комплексно-значная функция действительного аргумента, являющаяся математическим ожиданием функции случайной величины , где , то есть: .
Ч
Частная функция распределения – функция распределения любой k-той компоненты вектора . Определение частной функции распределения основано на свойстве согласованности функции распределения многомерной случайной величины, например, если n=2, то и .
Частные распределения компонент случайного вектора - распределения вероятностей компонент вектора, являющихся скалярными случайными величинами. Частное распределение каждой компоненты получается как проекция вероятностной функции вектора на соответствующую координатную ось. Если и P вероятностная функция вектора, то частное распределение компоненты определяется равенством: , где B( ). Аналогично, частное распределение компоненты определяется равенством: , где B( ).
Ц
Центральная предельная теорема (ЦПТ) – совокупность теорем, в которых на последовательность случайных величин , налагаются условия, при которых их центрированная и нормированная сумма сходится по распределению к нормальному закону N(0;1).
Э
Эффективная оценка – точечная оценка числовой характеристики, имеющая наименьшую дисперсию.