5.3. Структурний і зведений вигляд систем симультативних рівнянь

Внаслідок тотожності локальної ринкової рівноваги систему (5.2) – (5.4) можна переписати у такому вигляді: qpyqpziniiiiiiii=+++=+++⎧⎨⎩=αααεβββε012101221()(),, (5.5), (5.6)

де q – рівноважна кількість (об’єм продаж або рівень споживання). Змінні p та q є ендогенними, а y і z – екзогенними. Системи (5.2) – (5.4) та (5.5), (5.6) записано у структурному вигляді. У структурному вигляді системи симультативних рівняь кожне рівняння відображає певний елемент структури економічної системи, що роглядається, і має економічну інтерпретацію. Крім стрктурного нам знадобиться зведений вигляд систем симультативних рівнянь. У зведеному вигляді в кожному рівнянні зліва стоїть ендогенна змінна, а справа – лише екзогенні змінні.

48

Трансформуємо систему (5.5), (5.6) до зведеного вигляду. Для простоти опустимо індекс i. Віднімемо почленно рівняння (5.5) від рівняння (5.6):

0 = α0 – β0+(α1 – β1)p + α2y – β2z + ε(1) – ε(2),

звідки pyz=−−+−+−+−−αββααβαβαβεεβα00112112111211()(). (5.7)

Від рівняння (5.5), помноженого на β1, віднімемо (5.6), помноженене на α1:

q(β1–α1) = α0β1 – α1β0 + α2β0y – α0β2z + β1ε(1) – α1ε(2),

звідки qyz=−−+−+−+−−αβαββααββαβααββεαεβα01101121112111111211()(). (5.8)

Формули (5.7) і (5.8) коректні за умови β1≠α1. Останнє співвідношення є гарантованим з економічних міркувань, оскільки α1 і β1 повинні мати різни знаки як коефіціенти при ціні у функціях попиту та пропозиції. Зробимо наступні позначення: παββα110011=−−, παβα12211=−, πβαβ13211=−, παβαββα21011011=−−, παββα222111=−, πβααβ232111=−, υεεβα()()()11211=−−,

49

υβεαεβα()()()2111211=−−.

Враховуючи введені позначення, маємо:

pyzpyz=+++=+++⎧⎨⎩πππυπππυ11121312122231()() (5.9) (5.10)

Рівняння (5.9) та (5.10) є рівняннями зведеного вигляду.

Зауважимо, що оскільки у рівняннях зведеного вигляду справа стоять лише екзогенні змінні, некорельовані зі збуреннями, то ці рівняння коректно оцінювати за допомогою звичайного методу найменших квадратів.

5.4. Проблема ідентифікації

5.4.1. Ідентифікація через зведений вигляд

Наша остаточна мета в цьому розділі – навчитись знаходити консистентні оцінки коефіціентів рівнянь структурного вигляду. Виявляється, що такі оцінки не завжди існують. Концепція ідентифікованості пов’язана, грубо кажучи, з можливістю консистентного оцінювання. В основу класифікації систем рівнянь з точки зору ідентифікованості покладено можливість виразити коефіціенти рівнянь структурного вигляду через коефіціенти рівнянь зведеного вигляду. Попередньо зауважимо, що в тій самій системі деякі рівняння можуть бути ідентифікованими, а деякі – ні. Рівняння називається строго ідентифікованим, якщо його коефіціенти можна однозначно виразити через коефіціенти рівнянь зведеного вигляду. Якщо існує більш ніж один розв’язок, то рівняння є надідентифікованим. Рівняння є неідентифікованим, якщо його коефіцієнти неможливо виразити через коефіціенти рівнянь зведеного вигляду.

Дослідимо на ідентифікованість систему (5.5), (5.6). Виразимо α0, α1, α2, β0, β1, β2 через π11, π12, π13, π21, π22, π23. Маємо: βππ12212=, αππ12313=, απβαπππππ212111222122313=−=−⎛⎝⎜⎞⎠⎟(), βπαβπππππ213111323132212=−=−⎛⎝⎜⎞⎠⎟(), απαπππππ01112111212313=−=−,

50

βπβπππππ01112111212212=−=−.

Ми бачимо, що обидва рівняння є строго ідентифікованими.