Вопрос 5. Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения заданной прямой с плоскостью проекции. 1. Для того чтобы построить горизонтальный след, необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью, затем опустить перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. 2. Для того чтобы построить фронтальный след прямой, необходимо продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью, затем восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой. М – горизонтальный след М1 – горизонтальная проекция горизонтального следа М2 – фронтальная проекция горизонтального следа N – фронтальный след N1 – горизонтальная проекция фронтального следа N2 – фронтальная проекция фронтального следа

Вопрос 6. Принадлежность точки прямой.

Отсканить стр.24-25

Вопрос 7. Проецирование прямого угла

Проецирование прямого угла.

Теорема: Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости.

([AB] [BC]) ([AB] ,[BC] ) [A B ] [B C ]

Рис.6

Дано: ABC=90 [AB] Доказать: A B C =90

Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость  .  [AB] [A B ]  [BC] [B C ]

Фигура ABB A  - прямоугольник, следовательно [AB]  плоскости BCC B , так как он перпендикулярен двум пересекающимся прямым этой плоскости (AB BC по условию и AB BB  по построению). Но AB A B , следовательно A B A B  плоскости BCC B , поэтому A B B C , т.е.  A B C =90 .

Обратное утверждение также верно.

По Гордону:

Рис.7

Дано: ABC=90 [AB] Доказать: A B C =90

Пусть [BC] =C Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость  .  [AB] [A B ]  [BC] [B C ]

Проведём [DC] [A B ] [DC] [AB], поэтому  BCD=90 На основании теоремы о 3-х перпендикулярах: ( B CD=90 ) ( BCD=90 ) A B C=90 .

Верно также обратное утверждение. Эту теорему применяют при решении задач на определение расстояния от точки до прямой частного положения.

Пример:

Рис.8

Дана горизонталь h и точка С. Надо опустить перпендикуляр из точки C на прямую h. Перпендикуляр из точки C к прямой h образует угол 90  и h H, следовательно прямой угол без искажения проецируется на плоскость H, поэтому из горизонтальной проекции точки C надо опустить перпендикуляр к h1(горизонтальной проекции горизонтали). |C1D1|=|CD|

Вопрос 8. Взаимное положение прямых. Конкурирующие точки

Взаимное положение прямых

П рямые могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. У параллельных прямых проекции параллельны. Для способа проекций с числовыми отметками этого определения недостаточно, так как отсутствуют другие проекции, определяющие положение прямых. Две прямые в проекциях с числовыми отметками параллельны в том случае, если: 1) проекции их параллельны; 2)интервалы или уклоны равны; 3) отметки возрастают в одном направлении. Параллельные прямые могут быть заданы проекциями двух точек, направлением (указано стрелкой) и уклоном, который должен быть одинаковым для обеих прямых. Пересекающиеся прямые имеют общую точку, а следовательно, проекции прямых имеют общую точку с одинаковой отметкой. Определить, пересекаются ли прямые, можно следующим образом: проградуировать прямые, и если в точке пересечения они имеют одну и ту же отметку, то прямые пересекаются. В противном случае прямые скрещиваются.

Рассмотрим три основных варианта взаимного расположения точек, в зависимости от соотношения координат определяющих их положение в пространстве:

1. Рассмотрим точки А и В (рис.13), все три координаты которых отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А.

а) модель		б)эпюр
Рисунок 13. Взаимное расположение точек

2. На рисунке 14 представлены точки А, В, С, D,  у которых  одна из координат совпадает, а две другие  отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций следующим образом:

 – Y_А=Y_В=Y_D, то точки А, В и D равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные  и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А₁В₁//x₁₂ и А₃В₃// z.Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂;

– Z_А=Z_В=Z_С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А₂В₂//x₁₂ и А₃С₃// y.Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁;

– X_А=X_C=X_D, то точки А,  C и D равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные  и фронтальные проекции расположены, соответственно, на прямых А₁C₁// y и А₂D₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

2. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 14. даны три пары таких точек, у которых:

а) модель		б) эпюр
Рисунок 14. Конкурирующие точки

• X_А=X_D;Y_А=Y_D;Z_D>Z_А;

• X_A=X_C;Z_A=Z_C;Y_C>Y_A;

• Y_A=Y_B;Z_A=Z_B;X_B>X_A.

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

    При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.