П. 1.3.Формула трапеций
Введем на равномерную сетку с шагом h
.
На частичном отрезке формула трапеций имеет вид
(1.10)
Она
получается путем замены подынтегральной
функции
интерполяционным многочленом первой
степени, построенным по узлам
,
т.е. функцией
(*)
Погрешность
интерполяционной формулы имеет вид
,
следовательно, для многочлена (*) получаем
Тогда,
Следовательно,
, (1.11)
где .
Оценка
(1.12) неулучшаема, так как в ней достигается
равенство, например, для
.
Составная формула трапеций имеет вид
, (1.12)
где
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом
, (1.13)
где .
Таким
образом, формула трапеций имеет второй
порядок точности
,
но ее погрешность оценивается в два
раза большей величиной, чем погрешность
метода прямоугольников.
П. 1.4.Формула Симпсона (парабол)
Введем на отрезке равномерную сетку с шагом h
.
При
аппроксимации интеграла (1.4) заменим
функцию
параболой, проходящей через точки
,
т.е. представим
в виде
,
где
- интерполяционный многочлен Лагранжа
второй степени:
Проводя интегрирование, получим
,
где
,
.
Таким образом, приходим к приближенному равенству
(1.14)
Эта формула называется формулой Симпсона или формулой парабол.
На всем отрезке
формула Симпсона имеет вид
(
1.0)
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить
.
Тогда формулу Симпсона можно записать следующим образом
(1.15)
Погрешность
формулы (1.15) оценивается следующим
образом
, (1.16)
где
.
Погрешность составной формулы Симпсона (1.17) оценивается так:
, (1.17)
где
,
.
Отсюда
видно, что формула Симпсона существенно
точнее, чем формулы прямоугольников и
трапеций. На частичном отрезке она
имеет пятый порядок точности (
),
а на всем отрезке – четвертый порядок
точности (
).
§2.Квадратурные формулы интерполяционного типа п. 2.1.Вывод формул
Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов
, (2.1)
где
- заданная интерполируемая функция
(так называемая весовая функция),
-
достаточно гладкая функция.
Рассматриваемые далее формулы имеют вид
,
(2.2)
где
,
- числовые коэффициенты,
.
Квадратурные
формулы будем получать путем замены
интерполяционным многочленом сразу
на всем отрезке
.
Полученные таким образом формулы
называются квадратурными формулами
интерполяционного типа. Как правило,
точность этих формул возрастает с
увеличением числа узлов интерполирования.
Формулы прямоугольников, трапеций и
Симпсона являются частным случаем
квадратурных формул интерполяционного
типа, когда
,
.
Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа.
Пусть
на
заданы узлы интерполирования
.
Предполагается, что среди этих узлов
нет совпадающих, в остальном они могут
быть расположены как угодно на
.
Заменим в интеграле (2.1) функцию
интерполяционным многочленом Лагранжа
,
где
,
.
Получим приближенную формулу вида (2.2), где
(2.3)
Таким образом, формула (2.2) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (2.3).