- •Матрицы и действия над ними.
- •Основные действия над матрицами.
- •4. Системы линейных уравнений и методы их решения.
- •Метод Крамера.
- •Правило треугольника.
- •Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
- •7. Скалярное произведение векторов.
- •9. Уравнение прямой на плоскости.
- •11. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •12. Угол между прямыми на плоскости.
- •15. Окружность.
- •17. Гипербола.
- •18. Определение и способы задания функции.Предел функции в точке.
- •19. Раскрытие неопределенностей.
- •21 22 23. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
- •24. Основные правила дифференцирования.
- •26 27.Возрастание и убывание функций.
- •28. Точки экстремума.
- •29 30. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •24. Первообразная функция.
- •36. Неопределенный интеграл.
- •38. Определенный интеграл.
- •39. Замена переменных.
- •45. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •47. Однородные уравнения.
- •48. Линейные уравнения.
Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
7. Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. = cos
Свойства скалярного произведения:
= 2;
= 0, если или = 0 или = 0.
= ;
( + ) = + ;
(m ) = (m ) = m( ); m=const
Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то = xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если
10 - 5 + 6 - 3 = 10 ,
т.к. .
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
= 6 + 8 – 6 = 8:
.
cos =
Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)
.
Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если
( )( ) =
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
1) , где - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: или .
Свойства векторного произведения векторов:
1) ;
2) , если или = 0 или = 0;
3) (m ) = (m ) = m( );
4) ( + ) = + ;
5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то =
6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Пример. Найти векторное произведение векторов и
.
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
.
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),
С(0, 1, 0).
(ед2).
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
(ед2).
9. Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением Ах + Ву + С = 0,
где А,В,С – произвольные числа, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Пусть прямая проходит через точку М(х0;у0) и ее направление характеризуеися угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде у=кх+b,
где b - пока неизвестная величина.
Т.к. прямая проходит через т. М, то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: у0=кх0+ b.
Отсюда b = у0 - кх0.
Подставляя значение b в уравнение у=кх+b, получим искомое уравнение прямой у=кх+ у0 - кх0,
т.е. у –у0 = к(х – х0).
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
А(х - х0) + В(у – у0) = 0 .
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.