7.15 Прямое и обратное преобразования Лапласа – функции laplace, ilaplace

Преобразование Лапласа любой комплексной функции f(t) действительной переменной t имеет вид:

L(s) = f(t)e^-stdt.

Функцию f(t) принято назывть оригиналом, а функцию L(s) – изображением. Функция f(t) должна удовлетворять следующим условиям:

а) f(t) является непрерывной для всех значений t, принадлежащих области определения. (Допускается наличие разрывов первого рода в конечном числе точек, расположенных на интервалах конечной длины. Количество таких интервалов должно быть конечным числом);

б) f(t)=0 при t<0;

в) существуют числа M>0 и p≥0 такие, что для всех t │f(t)│< Me^pt (p называется показателем роста │f(t)│).

Некоторые простейшие) преобразования Лапласа приведены в таблице 7.1.

Таблица 7.1. Некоторые преобразования Лапласа

f(t)	L(s) = f(t)e-stdt.
1	s-1
e-at	(s+a)-1
sinat	a(s2+a2)-1
tn	n!s-n-1
e-atcoswt
tne-at

В MATLAB преобразование Лапласа функции f(t) осуществляется с помощью встроенной функции laplace(F,t,s).

Найдем с помощью этой встроенной функции изображения заданных в таблице 7.1 оригиналов f(t):

>> syms a t w s

>> n=sym('n','positive');

>> laplace(1,t,s)

ans =

1/s

>> laplace(exp(-a*t),t,s)

ans =

1/(s+a)

>> laplace(sin(a*t),t,s)

ans =

a/(s^2+a^2)

>> laplace(t^n,t,s)

ans =

s^(-n-1)*gamma(n+1)

>> laplace(exp(-a*t)*cos(w*t),t,s)

ans =

(s+a)/((s+a)^2+w^2)

>> laplace(t^n*exp(-a*t),t,s)

ans =

gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1)

Полученные изображения совпадают с табличными, если учесть, что

gamma(n+1)=n! для целых n≥0.

Найдем изображение функции

f(t)=e^-2tsin2tcos3t,

которое нельзя найти непосредственно с помощью таблиц преобразования Лапласа.

>> syms t s

>> laplace(exp(-2*t)*sin(2*t)*cos(3*t),t,s)

ans =

5/2/((s+2)^2+25)-1/2/((s+2)^2+1)

>> pretty(ans)

1 1

5/2 ------------- - 1/2 ------------

2 2

(s + 2) + 25 (s + 2) + 1

>> factor(ans)

ans =

2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5)

>> pretty(ans)

2

s + 4 s - 1

2 ------------------------------

2 2

(s + 4 s + 29) (s + 4 s + 5)

Найдем изображение функции f(t)=.

>> laplace(1/t,t,s)

ans =

laplace(1/t,t,s)

Эта функция не является оригиналом ввиду того, что не выполнено условие а). Следовательно, изображения этой функции не существует, и MATLAB не смог его найти.

Существуют и другие модификации функции laplace (справка – doc laplace).

Обратное преобразование Лапласа имеет вид:

f(t) = L(s)e^stds.

В среде MATLAB обратное преобразование Лапласа функции L(s) vожно получить с помощью встроенной функции ilaplace(L,s,t). Найдем с ее помощью оригиналы заданных в таблице 7.1 изображений L(s):

>> syms a t w s

>> n=sym('n','positive');

>> ilaplace(1/s,s,t)

ans =

1

>> ilaplace(1/(s+a),s,t)

ans =

exp(-a*t)

>> ilaplace(a/(s^2+a^2),s,t)

ans =

a/(a^2)^(1/2)*sin((a^2)^(1/2)*t)

>> ilaplace(s^(-n-1)*gamma(n+1),s,t)

ans =

t^n

>> ilaplace((s+a)/((s+a)^2+w^2),s,t)

ans =

exp(-a*t)*cos(w*t)

>> ilaplace(gamma(n+1)*(s+a)^(-n-1),s,t)

ans =

exp(-a*t)*t^n

Как видно, полученные оригиналы совпадают с табличными.

Теперь найдем оригинал изображения, которое было полученно ранее: 2 .

Напомним, что оригиналом в этом случае является функция

f(t)=e^-2tsin2tcos3t.

>> syms t s

>> ilaplace(2*(s^2+4*s-1)/(s^2+4*s+29)/(s^2+4*s+5),s,t)

ans =

1/2*exp(-2*t)*sin(5*t)-1/2*exp(-2*t)*sin(t)

>> factor(ans)

ans =

1/2*exp(-2*t)*(sin(5*t)-sin(t))

Поскольку (sin5t-sint)=sin2tcos3t, то оригинал найден правильно.

Найдем оригинал изображения

L(s) = .

>> syms t s a

>> ilaplace(exp(-2*s)/(s+a),s,t)

ans =

Heaviside(t-2)*exp(-a*(t-2))

В результате найдена фунукция Хевисайда, которая определяется следующим образом

f(t) =

Найдем оригинал изображения

L(s) = .

>> syms t s

>> ilaplace((s^4-1)/(s^5+s),s,t)

ans =

-1+2*sum(1/4*exp(_alpha*t),_alpha = RootOf(_Z^4+1))

>> vpa(ans,5)

ans =

-1.+1.0000*exp(-.70711*t)*cos(.70711*t)+1.0000*exp(.70711*t)*cos(.70711*t)

Когда MATLAB не может найти решение, то функция ilaplace возвращается без результата. Это означает, что, либо решения не существует, либо MATLAB не удалось его найти.

>> syms t s

>> ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2,s,t)

ans =

ilaplace(exp(2*s)/(s+3)^2,s,t)

Существуют и другие модификации функции ilaplace (справка – doc ilaplace).