- •Содержание
- •Введение
- •1. Линейное программирование
- •1.1. Построение математической модели злп
- •1.2. Решение злп графическим методом:
- •1.3. Решение злп алгебраическим методом:
- •1.4. Решение злп симплекс – методом:
- •Решение методом искусственного базиса
- •3.Решить зцлп
- •3.1Решение зцлп методом Гомори:
- •3.1Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ
- •4. Решение задачи булевского программирования о распределении капиталовложения.
- •4.2Булевское программирование. Метод Баллаша
- •5.1. Поиск локального минимума метом одномерной оптимизации
- •5.1.1 Метод дихотомии ( деление отрезка пополам ).
- •4.3 Уточнение решения задачи Методом золотого сечения.
- •4.4 Уточнение решения задачи методом квадратичной аппроксимации.
- •4. Поиск локального максимума функции
- •4.1. Метод нулевого порядка - метод Хука – Дживса
- •6.2 Метод найскорейшего спуска(Коши)
1.2. Решение злп графическим методом:
F(A) = 2 F(D) = -6
F(B) = 5 max F(E) = -1
F(C) = -8
Находим оптимальное решение графически: двигаемся по направлению градиента, пока не выйдем из области, ограниченной неравенствами (симплекса). Оптимальное решение: (5;2), F (5,2) = -2 * 5 + 2 = - 8
Значение целевой функции: - 8.
1.3. Решение злп алгебраическим методом:
Ограничения – неравенства Ограничения – равенства
-3x1 - 5x2 + 25 0 - 3x1 – 5x2 + 25 = x3
-2x1 + 2x2 + 6 0 - 2x1 + 2x2 + 6 = x4
x1 + 2x2 – 3 0 x1 + 2x2 – 3 = x5 x1 + x2 – 2 0 x1 + x2 – 2 = x6
xi 0
F = - 2x1 + x2 min Свободные х1, х2
< 0, 0, 25, 6,- 3, - 2 >
Недопустимое решение, так как не выполнятся условие неотрицательности для х5 (не может быть выбрано в качестве опорного).
F = - 2x1 + x2 min
Для приведения данного решения к допустимому выведем переменную x5 из базиса и заменим её на x1.
Заменим x1 на x3
x1 = x5 -2x2 +3
С вободные х2 ,х5
x3 = -3x5 + 6x2 – 5x2 - 9 + 25
x4= -2(x5 – 2x2 + 3) + x2 + 6
x1 = x5 – 2x2 + 3
x6 = x5 – 2x2 + 3 + x2 – 2
x3 = -3x5 + x2 +16 16/3
x4= - 2x5 + 6x2 0
x1 = x5 – 2x2 + 3 ∞ (1)
x6 = x5 – x2 + 1 ∞
F = -2(x5 – 2x2 + 3) + x2 = - 2x5 + 4x2 – 6 + x2 = - 2x5 + 5x2 – 6
< 3, 0, 16, 0, 0, 1 >
Допустимое (1) , может быть опорным
F = - 2x5 + 5x2 – 6 min
Решение не является оптимальным, так как коэффициент при х5 отрицателен. Переведём переменную х5 в свободные. Заменим х5 на х4
x5 =1/2 x4 + 3x2
С вободные х4 ,х2
x3 = -3(-1/2 x4 + 3x2) + x2 + 16
x5= - 1/2 x4 + 3x2
x1 = - 1/2 x4 + 3x2 – 2x2 + 3
x6 = - 1/2 x4 + 3x2 – x2 + 1
x3 = 3/2 x4 – 8x2 + 16 2
x5= - 1/2 x4 + 3x2 ∞
x1 = - 1/2 x4 + x2 + 3 ∞
x6 = - 1/2 x4 + 2x2 + 1 ∞
F = -2(- 1/2 x4 + 3x2) + 5x2 - 6= x4 – x2 – 6
< 3, 0, 16, 0, 0, 1 >
Решение не является оптимальным, так как коэффициент при х2 отрицателен. Переведём переменную х2 в свободные. Заменим х2 на х3
x2 = 3/16 x4 – 1/8 x3 + 2
С вободные х4 ,х2
x2 = 3/16 x4 – 1/8 x3 + 2
x5= - 1/2 x4 + 3(3/16 x4 – 1/8 x3 + 2)
x1 = - 1/2 x4 + 3/16 x4 – 1/8 x3 + 2 + 3
x6 = - 1/2 x4 + 2(3/16 x4 – 1/8 x3 + 2) + 1
x2 = 3/16 x4 – 1/8 x3 + 2
x5= - 1/16 x4 – 1/8 x3 + 6
x1 = - 5/16 x4 – 1/8 x3 + 5
x6 = - 1/2 x4 – 1/4 x2 + 5
F = x4 – 3/16 x4 + 1/8 x3 – 2 – 6 = 13/16 x4 + 1/8 x3 – 8
< 5, 2, 0, 0, 6, 5 >
F =13/16 x4 + 1/8 x3 – 8 – все коэффициенты положительны, решение оптимальное в точке (5;2), значение исходной целевой функции - 8.
1.4. Решение злп симплекс – методом:
Д ля решения симплекс методом воспользуемся опорным решением (1), полученным ранее.
x3 = -3x5 + x2 +16
x4= - 2x5 + 6x2
x1 = x5 – 2x2 + 3 (1)
x6 = x5 – x2 + 1
F = - 2x5 + 5x2 – 6 min
Преобразуем систему для решения симплекс – методом
x 3 = 16 - (3x5 - x2)
x4= 0 - (2x5 - 6x2)
x1 = 3 - (-x5 + 2x2) (1)
x6 = 1 - (-x5 + x2)
F = - 6 – ( 2x5 – 5x2) min
Таблица 1. Симплекс – таблица
Б\Св |
β |
x5 |
x2 |
|||
x3 |
16
|
0 |
3 |
-3/2 |
-1 |
9 |
x4 |
0
|
0 |
2
|
1/2 |
-6 |
-3 |
x1 |
3
|
0 |
-1 |
1/2 |
2 |
-3 |
x6 |
1
|
0 |
-1 |
1/2 |
1 |
-3 |
F |
-6
|
0 |
2 |
-1 |
-5 |
6 |
Т ак как коэффициент в целевой функции при х5 положителен, то выбираем в качестве генерального столбца столбец х5. В качестве генеральной строки выбираем ту строку, в которой отношение постоянной величины к соответствующему элементу генерального столбца будет минимальным и неотрицательным.
16/3 –допустимое значение, но не минимальное
0 – допустимое, минимальное
-3 – недопустимое значение (отрицательное)
- 1 – недопустимое значение (отрицательное)
Минимальным из допустимых значений является значение, соответствующее 0 поэтому генеральным элементом является элемент а22 (соответствует сроке х4), тогда соответственно λ = 1/ а22 = 1/2. На основании этого производим вычисления.
После вычисление получаем:
Таблица2.
Б\Св |
β |
x4 |
x2 |
|||
x3 |
16
|
2 |
-3/2 |
-3/16 |
8 |
1/8 |
x5 |
0
|
6 |
1/2
|
-9/16 |
-3 |
3/8 |
x1 |
3
|
2 |
1/2 |
-3/16 |
-1 |
1/8 |
x6 |
1
|
4 |
1/2 |
-3/8 |
-2 |
1/4 |
F |
-6
|
-2 |
-1 |
3/16 |
1 |
-1/8 |
Т ак как коэффициент в целевой функции при х2 положителен, то выбираем в качестве генерального столбца столбец х2. В качестве генеральной строки выбираем ту строку, в которой отношение постоянной величины к соответствующему элементу генерального столбца будет минимальным и неотрицательным.
2– допустимое, минимальное
0 – допустимое, но коэффициент x5 - отрицательный
-3 – недопустимое значение (отрицательное)
-1 – недопустимое значение (отрицательное)
Минимальным из допустимых значений является значение, соответствующее 2 поэтому генеральным элементом является элемент а23 (соответствует сроке х5), тогда соответственно λ = 1/ а13 = 1/8. На основании этого производим вычисления.
После вычисление получаем:
Таблица3.
Б\Св |
β |
x4 |
x3 |
x2 |
2
|
-3/16 |
1/8 |
x5 |
6 |
1/16
|
3/8 |
x1 |
5 |
5/16
|
1/8 |
x6 |
5 |
1/2 |
1/4
|
F |
-8 |
-13/16
|
-1/8 |
Так как все коэффициенты целевой функции отрицательны, то решение оптимальное и в точке (5;2). Значение целевой функции – 8 .
< 5, 2, 0, 0, 6, 5>
В результате получили решение, аналогичное решению, полученному при использовании алгебраического метода, из чего делаем вывод о правильности полученного решения.