3. Определение операторным методом переходного значения тока через резистор r3 при срабатывании коммутатора к1

После срабатывания коммутатора К₁ i_L(0) = 0 и u_C(0) = 0, т.е. начальные условия цепи – нулевые, поэтому при составлении операторной схемы замещения индуктивность L замещаем только пассивным элементом Lp, а ёмкость C – пассивным элементом . Таким образом, для исходной цепи (рис.1) операторная схема замещения после срабатывания коммутатора К₁ будет выглядеть следующим образом (рис.1.9).

Рис.1.9. Операторная схема замещения цепи на первом этапе

По закону Ома в операторной форме

I_R3(p) = = ,

где Z(p) – операторное входное сопротивление между точками a и b.

По схеме (рис.1.9) Z(p) = R₃ + Lp + .

Таким образом изображение тока через резистор R₃:

I_R3(p) = = = =

= 1500 .

Для перехода от изображения к оригиналу тока преобразуем выражение I_R3(p) к табличному виду F(p) = :

I_R3(p) = 1500 = 1500∙F(p) . (1.12)

По таблице 8.4 –2 преобразований Лапласа для рациональных изображений [2] соответствующий оригинал функции будет иметь вид:

f(t) = Ae^at sin(ω₁t + α) + K, (1.13)

где ω₁= = 122,742;

K = = = 0,000575; a=-50,101; d=10,101;

A = = = 0,00793;

α =arctg -arctg =arctg -arctg = -0,072 рад.

Подставим значения найденных коэффициентов в (1.13):

f(t) = 0,00793e^-50.101t sin(122,742t – 0,072) + 0,000575.

Переходя от изображения к оригиналу функции из(1.12), находим значение переходного тока через резистор R₃ после срабатывания К₁:

i_R3(t) = 1500∙f (t) = 1500∙[0,00793e^-50,101t sin(122,742t – 0,072) + 0,000575] = 0,862 + 11,895e^-50,101t sin(122,742t – 0,072).

4. Сравнение результатов расчётов переходного значения iR3(t) классическим и операторным методами

Результаты выполненных расчётов в разделах 1.1 и 1.3 сводим в табл. 1.1. Погрешность расчётов оцениваем по формуле

δ = ,

где F_кл, F_оп – параметры тока, при расчётах классическим и операторным методами.

Таблица 1.1

Параметры переходного значения тока i_R3(t)

Метод расчёта Параметр	Классический	Операторный	Погрешность, %
Принужденная составляющая iR3 пр , А	0,862	0,862	0
Амплитуда, А	11,982	11,895	0,7
Показатель затухания, с-1	-50,101	-50,101	0
Собственная частота, с-1	122,742	122,742	0
Начальная фаза, радиан	0,072	0,072	0

Так как погрешность произведённых расчётов не превышают 5%, то расчёт выполнен верно.

2. Исследование переходного процесса в цепи синусоидального тока

С хема замещения цепи электромагнита приведена на рис.2.1.

Рис.2.1. Схема замещения цепи электромагнита

При включении обмотки электромагнита на синусоидальное напряжение (сработал коммутатор К₁) переходный ток через обмотку электромагнита

при расчёте классическим методом определяется по следующей формуле:

i(t) = i_пр(t) + i_св(t). (2.1)

Принужденную составляющую тока определяем по схеме (рис.2.2) для установившегося режима (t = ∞).

Рис.2.2. Схема замещения цепи электромагнита

для установившегося режима (t = ∞)

По закону Ома в комплексной форме :

I_mпр = = = e^{(ψ - arctg )t} . Переходим к мгновенному значению тока

i_пр(t) = I_msin(ωt + φ),

где I_m = = - амплитуда тока;

U_m – амплитуда заданного синусоидального напряжения;

φ = ψ – arctg - начальная фаза тока.

Таким образом принужденная составляющая тока в общем виде

i_пр(t) = sin(ωt + ψ – arctg ) . (2.2)

Для нахождения выражения свободной составляющей тока i_св(t) составим и решим характеристическое уравнение, используя расчётную схему (рис.2.3).

Рис.2.3. Расчётная схема для составления характеристического

уравнения для цепи электромагнита

Входное характеристическое сопротивление цепи Z(p) = Lp + R

Решаем характеристическое уравнение Z(p) = 0

R + Lp = 0, p = - .

Так как корень характеристического уравнения один, то свободная составляющая тока запишется в виде

i_св(t) = Ae^pt = Ae^{- t}. (2.3)

Найдём постоянную интегрирования A. Подставляя выражение (2.2) и (2.3) в (2.1), получим

i(t) = sin(ωt + ψ – arctg ) + Ae^{- t} (2.4)

В момент времени t = 0 выражение (2.4) примет вид

i(0) = sin(ψ – arctg ) + A. (2.5)

Поскольку ток через индуктивность, согласно первому закону коммутации, скачком изменяться не может, т.е. i(0) = i(0_-) = i(0₊), а до коммутации ток в цепи не протекал, то i(0) = 0. Подставляем это значение в (2.5), находим A

0 = sin(ψ – arctg ) + A,

A= - sin(ψ – arctg ).

Подставляя в (2.4) найденную постоянную интегрирования А, получим выражение для переходного тока через обмотку электромагнита в общем виде

i(t) = sin(ωt + ψ – arctg )- sin(ψ – arctg )e^{- t}

Подставим заданные параметры цепи из табл.2

i(t) = sin(314t - – arctg )- sin(- – arctg )e^{- t} =

=3,297sin(314t – 2,146) + 2,766 e^-66,667t А. (2.6)

Переходный ток через обмотку электромагнита достигает максимального значения, когда sin(ωt + ψ – arctg ) = 1;

ωt + ψ – arctg = ;

t = ( - ψ + arctg )/ω = ( + + arctg )/314 = 0,01184007 с.

Амплитуда переходного тока из (2.6) при t = 0,01184007 с

I_max = 3,297sin(314∙0,01184007 – 2,146) + 2,766 e^{-66,667∙0,01184007} = 4,553 А.

Таким образом, максимальное значение тока при переходном процессе превышает амплитудное значение установившегося режима в = 1,38 раза.

Определим постоянную времени электрической цепи электромагнита:

с.

Построим график зависимости переходного тока через обмотку электромагнита (рис.2.4). Согласно указаниям [1] график построили на интервале 3∙₃ = 0,045 c.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведен анализ переходных процессов в электрических цепях постоянного тока и переменного синусоидального тока. Определены законы изменения постоянного тока через резистор R₃ в заданной схеме классическим и операторным методами, а также закон изменения синусоидального тока через обмотку электромагнита.

Установлено, что в цепи постоянного тока после срабатывания первого коммутатора К₁ переходный процесс носит колебательный характер. На втором этапе после срабатывания коммутатора К₂ наблюдается апериодический процесс.Выражение переходного тока на первом этапе, полученного классическим методом:

i_R3(t) = 0,862 + 11,982e^{-50,101 t} sin(122,742 t – 0,072) А.

Выражение переходного тока на первом этапе, полученного операторным методом:

i_R3(t) = 0,862 + 11,895e^{-50,101 t} sin(122,742 t – 0,072) А.

Уравнения получены одинаковые, погрешности в вычислениях не превышали 5%, следовательно расчеты проведены верно.

При анализе цепи переменного тока найдена функция изменения тока через обмотку электромагнита при его включении на синусоидальное напряжение. Определён момент времени, при котором ток через обмотку электромагнита достигает максимально значения, найдена при этом его амплитуда. Установлено, что максимальное значение тока при переходном процессе превышает амплитудное значение установившегося режима в 1,38 раза.

Построенные графики показывают зависимости переходных токов в функции от времени.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Методические указания и контрольные задания к курсовой работе №2 по теоретическим основам электротехники / Сост. В.И. Бойчевский , А.Н. Шпиганович, Липецк: ЛГТУ, 1997. – 16 с.

2. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968. - 720 с.

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высш. школа, 1973.-752 с.

4. Основы теории цепей / Г.В. Зевеке и др.– М.: Энергоатомиздат, 1989. -528 с.

5. Методические указания к оформлению учебно-технической документации / Сост. А.Н. Шпиганович, В.И. Бойчевский, Липецк: ЛГТУ, 1997. - 32 с.